Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre in un venturimetro orizzontale con diametro d’ingresso di 200 mm e diametro della gola di 150 mm. La pressione all’ingresso è 11 kPa più alta che nella gola. Trascurando le perdite, trova la portata Q.

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 11 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un tubo flessibile con diametro interno di 25 mm aspira acqua a sifone da un serbatoio aperto. Il punto più alto C del tubo è 2,5 m sopra il pelo libero, e l’uscita (aperta all’aria) è 5 m sotto il pelo libero. Trascura le perdite e assumi g = 9,81 m/s². Trova la pressione assoluta p_C nel punto C. La pressione atmosferica è 101,3 kPa.

d = 25 mmz_C = +2,5 mz₂ = −5 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una velocità media di 2,5 m/s in un tubo lungo 800 m con diametro interno di 300 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

V = 2,5 m/sL = 800 mD = 300 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 300 m con diametro interno di 300 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 11 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 10) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.

Δz = 11 mL = 300 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 40 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 50 m. Il rendimento della pompa è del 60% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 92%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 40 L/sH = 50 mη_pump = 60%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 15 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 13 m più in alto. Il tubo è lungo 200 m, con diametro interno di 100 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 82%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 15 L/sΔz = 13 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 8η = 82%

P_shaft = kW

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 220,7 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·9 = 220,7 kN

Risposta

F = 220,7 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 163,4 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,25·5 = 163,4 kN

Risposta

F = 163,4 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 100,3 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuità

v₁ = v₂·(150/200)² = 0,5625·v₂

Bernoulli tra ingresso e gola

Il tubo è orizzontale, quindi cambiano solo pressione e velocità.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·11000/(1000·(1 − 0,3164))) = 5,673 m/s

v₁ = 3,191 m/s

Portata

Q = A₂·v₂ = 0,01767·5,673 = 0,1003 m³/s = 100,3 L/s

Risposta

Q = 100,3 L/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p_C = 27,72 kPa

Velocità nel tubo

Pelo libero e uscita sono entrambi aperti all’aria, quindi i termini di pressione si elidono.

v = √(2g·5) = √(2·9,81·5) = 9,905 m/s

Bernoulli dal pelo libero a C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(9,905²/2 + 9,81·2,5)/1000 = 101,3 − 73,58 = 27,72 kPa

Risposta

p_C = 27,72 kPa

Se questa pressione scende alla tensione di vapore dell’acqua, il sifone smette di funzionare.

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 12,74 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 2,5²/(2·9,81) = 0,3186 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(800/0,3)·2,5²/(2·9,81) = 12,74 m

Risposta

h_f = 12,74 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Q = 182,4 L/s

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,02·300/0,3 = 20

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Equazione dell’energia

Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.

11 = (20 + 12,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·11/32,4) = 2,581 m/s

Portata

Q = V·π·D²/4 = 2,581·0,07069 = 0,1824 m³/s = 182,4 L/s

Risposta

Q = 182,4 L/s

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 35,54 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·50 = 19,62 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 19,62/0,6 = 32,7 kW

Potenza elettrica

P_el = 32,7/0,92 = 35,54 kW

Risposta

P_el = 35,54 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 3,601 kW

Velocità

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0,1859 = 7,065 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 13 + 7,065 = 20,06 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,015·20,06/0,82 = 3,601 kW

Risposta

P_shaft = 3,601 kW

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