Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuità e BernoulliMedia
L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 100 mm a 75 mm. Nel tratto largo la pressione è 140 kPa e la velocità è 0,75 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.
d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 140 kPav1 = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
Un serbatoio d’acqua chiuso contiene aria compressa sopra l’acqua a una pressione relativa di 200 kPa. L’acqua esce all’aria aperta attraverso un’apertura con diametro di 25 mm, 5 m sotto il pelo libero. Trascurando le perdite, trova la velocità del getto v. Usa g = 9,81 m/s².
pair = 200 kPa (relativa)h = 5 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
v = m/s
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua scorre con una portata di 4 L/s in un tubo lungo 300 m con diametro interno di 100 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
Q = 4 L/sL = 300 mD = 100 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Un tubo lungo 100 m con diametro interno di 300 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,018) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 2). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 100 L/s?
Q = 100 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 2
H = m
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
In una prova, una pompa eroga 10 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 34 m mentre il suo albero assorbe 5,1 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.
Q = 10 L/sH = 34 mPshaft = 5,1 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 30 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 5 m più in alto. Il tubo è lungo 300 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 5 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.
Q = 30 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 5
H = m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 47,82 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·1,5 = 47,82 kN
Risposta
F = 47,82 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: F = 222,5 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3·6 = 222,5 kN
Risposta
F = 222,5 kN
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 139,4 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(100/75)² = 1,333 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 1,333²)/1000 = −0,6076 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 140 + (−0,6076) = 139,4 kPa
Risposta
p2 = 139,4 kPa
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: v = 22,32 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Bernoulli dal pelo libero al getto
v = √(2·(200000/1000 + 9,81·5)) = 22,32 m/s
Risposta
v = 22,32 m/s
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: hf = 0,8725 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità media
A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²
V = Q/A = 0,004/0,007854 = 0,5093 m/s
Altezza cinetica
V²/(2g) = 0,5093²/(2·9,81) = 0,01322 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(300/0,1)·0,5093²/(2·9,81) = 0,8725 m
Risposta
hf = 0,8725 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: H = 1,03 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità
V = Q/A = 0,1/0,07069 = 1,415 m/s
V²/(2g) = 0,102 m
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,018·100/0,3 = 6
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 = 3,1
Equazione dell’energia
Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.
H = (1 + 6 + 3,1)·0,102 = 1,03 m
Risposta
H = 1,03 m
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: η = 65,4 %
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·34 = 3,335 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 3,335/5,1 = 65,4%
Risposta
η = 65,4%
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: H = 13,08 m
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s
V²/(2g) = 0,1469 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 5)·0,1469 = 8,079 m
Prevalenza della pompa
Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.
H = Δz + hL = 5 + 8,079 = 13,08 m
Risposta
H = 13,08 m
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