Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

Un tubo di Pitot statico in una condotta d’acqua indica una differenza di 15 kPa tra la pressione di ristagno e la pressione statica. Trova la velocità dell’acqua v alla punta.

p₀ − p = 15 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un venturimetro orizzontale (ingresso 100 mm, gola 60 mm) è attraversato da acqua. Un manometro differenziale a U a mercurio collegato tra ingresso e gola mostra un dislivello di 370 mm. Il coefficiente di efflusso è 0,95. Trova la portata Q. Usa ρ = 1000 kg/m³ per l’acqua, 13 600 kg/m³ per il mercurio e g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmΔh = 370 mmC_d = 0,95ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una portata di 6 L/s in un tubo lungo 800 m con diametro interno di 50 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

Q = 6 L/sL = 800 mD = 50 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 200 m con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 10) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 15 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 66 m. Il rendimento della pompa è del 82% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 90%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 15 L/sH = 66 mη_pump = 82%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 10 m più in alto. Il tubo è lungo 200 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 5 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 100 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 80 L/sΔz = 10 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 5p_tank = 100 kPa

H = m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 176,6 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·4,5 = 176,6 kN

Risposta

F = 176,6 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 24,72 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2·1 = 24,72 kN

Risposta

F = 24,72 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: v = 5,477 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli fino al punto di ristagno

Il flusso si arresta alla punta, quindi la sua energia cinetica si manifesta come pressione aggiuntiva.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·15000/1000) = 5,477 m/s

Risposta

v = 5,477 m/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 27,54 L/s

Differenza di pressione dal manometro

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,37 = 45734 Pa

Velocità nella gola

Continuità e Bernoulli insieme danno la velocità ideale nella gola.

β = 60/100 = 0,6

v₂ = √(2·45734/(1000·(1 − 0,1296))) = 10,25 m/s

Portata reale

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,95·0,002827·10,25 = 0,02754 m³/s = 27,54 L/s

Risposta

Q = 27,54 L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 228,4 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità media

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,006/0,001963 = 3,056 m/s

Altezza cinetica

V²/(2g) = 3,056²/(2·9,81) = 0,4759 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(800/0,05)·3,056²/(2·9,81) = 228,4 m

Risposta

h_f = 228,4 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 11,27 m

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,022·200/0,2 = 22

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Perdita di carico totale

h_f = 22·0,3305 = 7,271 m

h_m = 12,1·0,3305 = 3,999 m

Δz = h_f + h_m = 11,27 m

Risposta

Δz = 11,27 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 13,16 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·66 = 9,712 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 9,712/0,82 = 11,84 kW

Potenza elettrica

P_el = 11,84/0,9 = 13,16 kW

Risposta

P_el = 13,16 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 28,46 m

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 5)·0,3305 = 8,263 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 10 + 10,19 + 8,263 = 28,46 m

Risposta

H = 28,46 m

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