Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità
p = ρgh
Forza su una parete verticale
F = ρg·hc·A
Centro di spinta
yp = yc + Ic/(ycA)
Rettangolo
Ic = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Portata
Q = A·v
Area del cerchio
A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto
laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate
hm = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K
imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione
Δp = ρ·g·hf
Due serbatoi aperti
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero
Pshaft = Ph/ηpump
Potenza elettrica
Pel = Pshaft/ηmotor
Prevalenza della pompa
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Perdite dell’impianto
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia
paratoiad = 4 mH = 1 m

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 4 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
paratoiad = 1,5 mH = 3 m

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di olio, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuità e BernoulliMedia
12d1​ = 200 mm, p1​ = 270 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 200 mm a 75 mm. Nel tratto largo la pressione è 270 kPa e la velocità è 1 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.

d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 270 kPav1 = 1 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
12d1​ = 150 mm, p1​ = 380 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?Δz = 8 m

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 150 mm a 100 mm salendo di 8 m. Nella sezione 1 la pressione è 380 kPa e la velocità è 3 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nella sezione 2.

d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 380 kPav1 = 3 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
V = 2,4 m/sD = 100 mmL = 1000 mf = 0,03

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 2,4 m/s in un tubo orizzontale lungo 1000 m con diametro interno di 100 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 2,4 m/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
K = 5sbocco liberoH = ?L = 100 m, D = 150 mm, f = 0,022× curva (K = 0,3)

Un tubo lungo 100 m con diametro interno di 150 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,02) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 5). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 20 L/s?

Q = 20 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5
H = m
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
PQ = 15 L/sH = 28 m

In una prova, una pompa eroga 15 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 28 m mentre il suo albero assorbe 5,5 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.

Q = 15 L/sH = 28 mPshaft = 5,5 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
150 kPa (relativa)PQ = 75 L/sΔz = 12 mL = 100 m, D = 200 mm, f = 0,025, ΣK = 6

Una pompa trasferisce 75 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 12 m più in alto. Il tubo è lungo 100 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 150 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 75 L/sΔz = 12 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 6ptank = 150 kPa
H = m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 66,22 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
paratoiad = 4 mH = 1 mF

Forza risultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,5·1,5 = 66,22 kN

Risposta

F = 66,22 kN
2.Spinta idrostatica

Risposta: ycp = 3,25 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

yc = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
paratoiad = 1,5 mH = 3 mF

Forza risultante

F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3·3 = 77,7 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

Ic = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 2,25/(3·3) = 3,25 m

Risposta

ycp = 3,25 m
3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p2 = 245,2 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(200/75)² = 7,111 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 7,111²)/1000 = −24,78 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 270 + (−24,78) = 245,2 kPa

Risposta

p2 = 245,2 kPa
4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p2 = 283,2 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(150/100)² = 6,75 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 6,75²)/1000 = −18,28 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·8/1000 = 78,48 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 380 + (−18,28) − 78,48 = 283,2 kPa

Risposta

p2 = 283,2 kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 864 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(1000/0,1)·2,4²/(2·9,81) = 88,07 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·hf.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·88,07 = 864000 Pa = 864 kPa

Risposta

Δp = 864 kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: H = 1,334 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità

V = Q/A = 0,02/0,01767 = 1,132 m/s
V²/(2g) = 0,06529 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,02·100/0,15 = 13,33
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 = 6,1

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 13,33 + 6,1)·0,06529 = 1,334 m

Risposta

H = 1,334 m
7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: η = 74,91 %

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·28 = 4,12 kW

Rendimento

η = Ph/Pshaft = 4,12/5,5 = 74,91%

Risposta

η = 74,91%
8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 32,66 m

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Velocità

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m

Perdite di carico

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12,5 + 6)·0,2905 = 5,374 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 12 + 15,29 + 5,374 = 32,66 m

Risposta

H = 32,66 m

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