Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 4 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 2,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuità e BernoulliMedia
L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 100 mm a 40 mm. Nel tratto largo la pressione è 100 kPa e la velocità è 1,75 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.
d1 = 100 mmd2 = 40 mmp1 = 100 kPav1 = 1,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
Un venturimetro orizzontale (ingresso 300 mm, gola 150 mm) è attraversato da acqua. Un manometro differenziale a U a mercurio collegato tra ingresso e gola mostra un dislivello di 130 mm. Il coefficiente di efflusso è 0,99. Trova la portata Q. Usa ρ = 1000 kg/m³ per l’acqua, 13 600 kg/m³ per il mercurio e g = 9,81 m/s².
d1 = 300 mmd2 = 150 mmΔh = 130 mmCd = 0,99ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 2,4 m/s in un tubo orizzontale lungo 150 m con diametro interno di 300 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.
V = 2,4 m/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 400 m con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 50 L/s?
Q = 50 L/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
Una pompa eroga 10 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 26 m. Il rendimento della pompa è del 60% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 88%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica Pel assorbita dal motore, in kW.
Q = 10 L/sH = 26 mηpump = 60%ηmotor = 88%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 5 m più in alto. Il tubo è lungo 150 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.
Q = 50 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 8
H = m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 196,2 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5·4 = 196,2 kN
Risposta
F = 196,2 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: F = 181 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·4·4,5 = 181 kN
Risposta
F = 181 kN
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 41,72 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(100/40)² = 10,94 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 10,94²)/1000 = −58,28 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 100 + (−58,28) = 41,72 kPa
Risposta
p2 = 41,72 kPa
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: Q = 102,4 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Differenza di pressione dal manometro
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,13 = 16069 Pa
Velocità nella gola
Continuità e Bernoulli insieme danno la velocità ideale nella gola.
β = 150/300 = 0,5
v2 = √(2·16069/(1000·(1 − 0,0625))) = 5,855 m/s
Portata reale
Q = Cd·A2·v2 = 0,99·0,01767·5,855 = 0,1024 m³/s = 102,4 L/s
Risposta
Q = 102,4 L/s
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Δp = 43,2 kPa
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Perdita di carico
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(150/0,3)·2,4²/(2·9,81) = 4,404 m
Caduta di pressione
Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·4,404 = 43200 Pa = 43,2 kPa
Risposta
Δp = 43,2 kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Δz = 1,898 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità
V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s
V²/(2g) = 0,05288 m
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,018·400/0,25 = 28,8
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1
Perdita di carico totale
hf = 28,8·0,05288 = 1,523 m
hm = 7,1·0,05288 = 0,3755 m
Δz = hf + hm = 1,898 m
Risposta
Δz = 1,898 m
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pel = 4,831 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·26 = 2,551 kW
Potenza all’albero
Pshaft = 2,551/0,6 = 4,251 kW
Potenza elettrica
Pel = 4,251/0,88 = 4,831 kW
Risposta
Pel = 4,831 kW
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: H = 5,994 m
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s
V²/(2g) = 0,05288 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10,8 + 8)·0,05288 = 0,9942 m
Prevalenza della pompa
Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.
H = Δz + hL = 5 + 0,9942 = 5,994 m
Risposta
H = 5,994 m
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