Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 75 mm. Nel tratto largo la pressione è 380 kPa e la velocità è 0,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nel tratto stretto.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 380 kPav₁ = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 75 mm a 40 mm salendo di 9 m. Nella sezione 1 la pressione è 370 kPa e la velocità è 2,25 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nella sezione 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 370 kPav₁ = 2,25 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una portata di 5 L/s in un tubo lungo 200 m con diametro interno di 50 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

Q = 5 L/sL = 200 mD = 50 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 200 m con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 40 L/s?

Q = 40 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 40 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 50 m. Il rendimento della pompa è del 60% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 94%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 40 L/sH = 50 mη_pump = 60%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 14 m più in alto. Il tubo è lungo 100 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 100 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 80 L/sΔz = 14 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 8p_tank = 100 kPa

H = m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 176,6 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·6 = 176,6 kN

Risposta

F = 176,6 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 170 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,75·5 = 170 kN

Risposta

F = 170 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 378,1 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(150/75)² = 2 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 2²)/1000 = −1,875 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 380 + (−1,875) = 378,1 kPa

Risposta

p₂ = 378,1 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 253 kPa

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(75/40)² = 7,91 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 7,91²)/1000 = −28,75 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 370 + (−28,75) − 88,29 = 253 kPa

Risposta

p₂ = 253 kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 29,08 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità media

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,005/0,001963 = 2,546 m/s

Altezza cinetica

V²/(2g) = 2,546²/(2·9,81) = 0,3305 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(200/0,05)·2,546²/(2·9,81) = 29,08 m

Risposta

h_f = 29,08 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 2,702 m

Velocità

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,025·200/0,2 = 25

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Perdita di carico totale

h_f = 25·0,08263 = 2,066 m

h_m = 7,7·0,08263 = 0,6362 m

Δz = h_f + h_m = 2,702 m

Risposta

Δz = 2,702 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 34,79 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·50 = 19,62 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 19,62/0,6 = 32,7 kW

Potenza elettrica

P_el = 32,7/0,94 = 34,79 kW

Risposta

P_el = 34,79 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 30,14 m

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 8)·0,3305 = 5,949 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 14 + 10,19 + 5,949 = 30,14 m

Risposta

H = 30,14 m

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