Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 3 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 4 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 200 mm a 50 mm. Nel tratto largo la pressione è 230 kPa e la velocità è 0,75 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nel tratto stretto.

d₁ = 200 mmd₂ = 50 mmp₁ = 230 kPav₁ = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un venturimetro orizzontale (ingresso 200 mm, gola 100 mm) è attraversato da acqua. Un manometro differenziale a U a mercurio collegato tra ingresso e gola mostra un dislivello di 70 mm. Il coefficiente di efflusso è 0,98. Trova la portata Q. Usa ρ = 1000 kg/m³ per l’acqua, 13 600 kg/m³ per il mercurio e g = 9,81 m/s².

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmΔh = 70 mmC_d = 0,98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una velocità media di 2,8 m/s in un tubo lungo 400 m con diametro interno di 50 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

V = 2,8 m/sL = 400 mD = 50 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Un tubo lungo 100 m con diametro interno di 200 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,018) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 2). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2

H = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa con rendimento del 85% eroga 25 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 78 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero P_shaft necessaria, in kW.

Q = 25 L/sH = 78 mη = 85%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 9 m più in alto. Il tubo è lungo 300 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 75%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 50 L/sΔz = 9 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 6η = 75%

P_shaft = kW

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 312,7 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·7,5 = 312,7 kN

Risposta

F = 312,7 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 4,789 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·4,75·2,25 = 132,1 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,75 + 0,4219/(4,75·2,25) = 4,789 m

Risposta

y_cp = 4,789 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 158,3 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(200/50)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 12²)/1000 = −71,72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 230 + (−71,72) = 158,3 kPa

Risposta

p₂ = 158,3 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 33,07 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Differenza di pressione dal manometro

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,07 = 8652 Pa

Velocità nella gola

Continuità e Bernoulli insieme danno la velocità ideale nella gola.

β = 100/200 = 0,5

v₂ = √(2·8652/(1000·(1 − 0,0625))) = 4,296 m/s

Portata reale

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,98·0,007854·4,296 = 0,03307 m³/s = 33,07 L/s

Risposta

Q = 33,07 L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 79,92 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 2,8²/(2·9,81) = 0,3996 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(400/0,05)·2,8²/(2·9,81) = 79,92 m

Risposta

h_f = 79,92 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: H = 1,691 m

Velocità

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

V²/(2g) = 0,1291 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,018·100/0,2 = 9

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 = 3,1

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 9 + 3,1)·0,1291 = 1,691 m

Risposta

H = 1,691 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 22,51 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·78 = 19,13 kW

Potenza all’albero

P_shaft = P_h/η = 19,13/0,85 = 22,51 kW

Risposta

P_shaft = 22,51 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 8,672 kW

Velocità

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

V²/(2g) = 0,1291 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 6)·0,1291 = 4,26 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 9 + 4,26 = 13,26 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·13,26/0,75 = 8,672 kW

Risposta

P_shaft = 8,672 kW

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