Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 1 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 3 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuità e BernoulliMedia
L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 75 mm a 50 mm. Nel tratto largo la pressione è 290 kPa e la velocità è 2,25 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 290 kPav1 = 2,25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
Un tubo flessibile con diametro interno di 32 mm aspira acqua a sifone da un serbatoio aperto. Il punto più alto C del tubo è 0,5 m sopra il pelo libero, e l’uscita (aperta all’aria) è 2,5 m sotto il pelo libero. Trascura le perdite e assumi g = 9,81 m/s². Trova la pressione assoluta pC nel punto C. La pressione atmosferica è 101,3 kPa.
d = 32 mmzC = +0,5 mz2 = −2,5 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 1 m/s in un tubo orizzontale lungo 50 m con diametro interno di 100 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.
V = 1 m/sL = 50 mD = 100 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 100 m con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 50 L/s?
Q = 50 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
Una pompa eroga 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 38 m. Il rendimento della pompa è del 75% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 94%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica Pel assorbita dal motore, in kW.
Q = 80 L/sH = 38 mηpump = 75%ηmotor = 94%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 100 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 5 m più in alto. Il tubo è lungo 150 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 4 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 100 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.
Q = 100 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 4ptank = 100 kPa
H = m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 82,77 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,25·3,75 = 82,77 kN
Risposta
F = 82,77 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: F = 52,79 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3,5·1,5 = 52,79 kN
Risposta
F = 52,79 kN
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 279,7 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,25·(75/50)² = 5,063 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,25² − 5,063²)/1000 = −10,28 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 290 + (−10,28) = 279,7 kPa
Risposta
p2 = 279,7 kPa
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: pC = 71,87 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocità nel tubo
Pelo libero e uscita sono entrambi aperti all’aria, quindi i termini di pressione si elidono.
v = √(2g·2,5) = √(2·9,81·2,5) = 7,004 m/s
Bernoulli dal pelo libero a C
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(7,004²/2 + 9,81·0,5)/1000 = 101,3 − 29,43 = 71,87 kPa
Risposta
pC = 71,87 kPa
Se questa pressione scende alla tensione di vapore dell’acqua, il sifone smette di funzionare.
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Δp = 7,5 kPa
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Perdita di carico
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(50/0,1)·1²/(2·9,81) = 0,7645 m
Caduta di pressione
Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·0,7645 = 7500 Pa = 7,5 kPa
Risposta
Δp = 7,5 kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Δz = 7,902 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,022·100/0,15 = 14,67
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7
Perdita di carico totale
hf = 14,67·0,408 = 5,984 m
hm = 4,7·0,408 = 1,918 m
Δz = hf + hm = 7,902 m
Risposta
Δz = 7,902 m
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pel = 42,3 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·38 = 29,82 kW
Potenza all’albero
Pshaft = 29,82/0,75 = 39,76 kW
Potenza elettrica
Pel = 39,76/0,94 = 42,3 kW
Risposta
Pel = 42,3 kW
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: H = 19,21 m
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 4)·0,2115 = 4,019 m
Altezza piezometrica
p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m
Prevalenza della pompa
Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 5 + 10,19 + 4,019 = 19,21 m
Risposta
H = 19,21 m
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