Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 3 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua defluisce da un grande serbatoio aperto attraverso una luce a spigolo vivo con diametro di 50 mm. Il livello dell’acqua è mantenuto 3,5 m sopra la luce e il coefficiente di efflusso è 0,64. Trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².

d = 50 mmh = 3,5 mC_d = 0,64g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 75 mm a 25 mm salendo di 8 m. Nella sezione 1 la pressione è 200 kPa e la velocità è 1,25 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nella sezione 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 200 kPav₁ = 1,25 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una portata di 5 L/s in un tubo lungo 150 m con diametro interno di 100 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

Q = 5 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Un tubo lungo 200 m con diametro interno di 300 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,022) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 10). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10

H = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

In una prova, una pompa eroga 25 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 80 m mentre il suo albero assorbe 23,9 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.

Q = 25 L/sH = 80 mP_shaft = 23,9 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 100 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 19 m più in alto. Il tubo è lungo 200 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 72%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 100 L/sΔz = 19 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 6η = 72%

P_shaft = kW

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 24,52 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·1 = 24,52 kN

Risposta

F = 24,52 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 3,8 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·2,25 = 82,77 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,75 + 0,4219/(3,75·2,25) = 3,8 m

Risposta

y_cp = 3,8 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 10,41 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità ideale del getto

√(2gh) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s

Portata reale

Il coefficiente di efflusso tiene conto della contrazione del getto e dell’attrito sul bordo.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,64·0,001963·8,287 = 0,01041 m³/s = 10,41 L/s

Risposta

Q = 10,41 L/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 59,02 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(75/25)² = 11,25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 11,25²)/1000 = −62,5 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·8/1000 = 78,48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 200 + (−62,5) − 78,48 = 59,02 kPa

Risposta

p₂ = 59,02 kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 0,6817 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità media

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,005/0,007854 = 0,6366 m/s

Altezza cinetica

V²/(2g) = 0,6366²/(2·9,81) = 0,02066 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(150/0,1)·0,6366²/(2·9,81) = 0,6817 m

Risposta

h_f = 0,6817 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: H = 2,73 m

Velocità

V = Q/A = 0,1/0,07069 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,022·200/0,3 = 14,67

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 14,67 + 11,1)·0,102 = 2,73 m

Risposta

H = 2,73 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: η = 82,09 %

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·80 = 19,62 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 19,62/23,9 = 82,09%

Risposta

η = 82,09%

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 31,77 kW

Velocità

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14,4 + 6)·0,2115 = 4,315 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 19 + 4,315 = 23,32 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·23,32/0,72 = 31,77 kW

Risposta

P_shaft = 31,77 kW

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