Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità
p = ρgh
Forza su una parete verticale
F = ρg·hc·A
Centro di spinta
yp = yc + Ic/(ycA)
Rettangolo
Ic = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Portata
Q = A·v
Area del cerchio
A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto
laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate
hm = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K
imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione
Δp = ρ·g·hf
Due serbatoi aperti
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero
Pshaft = Ph/ηpump
Potenza elettrica
Pel = Pshaft/ηmotor
Prevalenza della pompa
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Perdite dell’impianto
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia
paratoiad = 1,5 mH = 2,5 m

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
paratoiad = 4 mH = 1 m

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 4 mH = 1 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuità e BernoulliMedia
12d1​ = 75 mm, p1​ = 350 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 75 mm a 40 mm. Nel tratto largo la pressione è 350 kPa e la velocità è 1,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.

d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 350 kPav1 = 1,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
12d1​ = 200 mm, p1​ = 300 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?Δz = 1 m

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 200 mm a 100 mm salendo di 1 m. Nella sezione 1 la pressione è 300 kPa e la velocità è 1,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nella sezione 2.

d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 300 kPav1 = 1,5 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
V = 1,8 m/sD = 250 mmL = 300 mf = 0,02

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 1,8 m/s in un tubo orizzontale lungo 300 m con diametro interno di 250 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 1,8 m/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
K = 0,2sbocco liberoH = ?L = 150 m, D = 250 mm, f = 0,0153× curva (K = 0,3)

Un tubo lungo 150 m con diametro interno di 250 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,015) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 0,2). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 0,2
H = m
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
PQ = 30 L/sH = 26 m

In una prova, una pompa eroga 30 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 26 m mentre il suo albero assorbe 9,3 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.

Q = 30 L/sH = 26 mPshaft = 9,3 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
250 kPa (relativa)PQ = 120 L/sΔz = 20 mL = 100 m, D = 250 mm, f = 0,02, ΣK = 5

Una pompa trasferisce 120 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 20 m più in alto. Il tubo è lungo 100 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 5 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 250 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 120 L/sΔz = 20 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 5ptank = 250 kPa
H = m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 67,44 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

yc = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
paratoiad = 1,5 mH = 2,5 mF

Forza risultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·2,5 = 67,44 kN

Risposta

F = 67,44 kN
2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 55,62 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
paratoiad = 4 mH = 1 mF

Forza risultante

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·4,5·1 = 55,62 kN

Risposta

F = 55,62 kN
3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p2 = 337,2 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 1,5·(75/40)² = 5,273 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,5² − 5,273²)/1000 = −12,78 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 350 + (−12,78) = 337,2 kPa

Risposta

p2 = 337,2 kPa
4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p2 = 273,3 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 1,5·(200/100)² = 6 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,5² − 6²)/1000 = −16,88 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·1/1000 = 9,81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 300 + (−16,88) − 9,81 = 273,3 kPa

Risposta

p2 = 273,3 kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 38,88 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(300/0,25)·1,8²/(2·9,81) = 3,963 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·hf.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·3,963 = 38880 Pa = 38,88 kPa

Risposta

Δp = 38,88 kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: H = 3,533 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,015·150/0,25 = 9
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 = 1,6

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 9 + 1,6)·0,3046 = 3,533 m

Risposta

H = 3,533 m
7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: η = 82,28 %

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·26 = 7,652 kW

Rendimento

η = Ph/Pshaft = 7,652/9,3 = 82,28%

Risposta

η = 82,28%
8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 49,44 m

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Velocità

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m

Perdite di carico

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (8 + 5)·0,3046 = 3,96 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 20 + 25,48 + 3,96 = 49,44 m

Risposta

H = 49,44 m

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