Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità
p = ρgh
Forza su una parete verticale
F = ρg·hc·A
Centro di spinta
yp = yc + Ic/(ycA)
Rettangolo
Ic = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Portata
Q = A·v
Area del cerchio
A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto
laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate
hm = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K
imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione
Δp = ρ·g·hf
Due serbatoi aperti
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero
Pshaft = Ph/ηpump
Potenza elettrica
Pel = Pshaft/ηmotor
Prevalenza della pompa
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Perdite dell’impianto
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia
paratoiad = 1,5 mH = 2,5 m

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
paratoiad = 2,5 mH = 1 m

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di olio, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 2,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuità e BernoulliMedia
12d1​ = 200 mm, p1​ = 320 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 200 mm a 75 mm. Nel tratto largo la pressione è 320 kPa e la velocità è 2 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.

d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 320 kPav1 = 2 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
12d1​ = 75 mm, p1​ = 370 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?Δz = 5 m

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 75 mm a 40 mm salendo di 5 m. Nella sezione 1 la pressione è 370 kPa e la velocità è 0,75 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nella sezione 2.

d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 370 kPav1 = 0,75 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Q = 20 L/sD = 100 mmL = 300 mf = 0,015

Acqua scorre con una portata di 20 L/s in un tubo lungo 300 m con diametro interno di 100 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.

Q = 20 L/sL = 300 mD = 100 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
K = 2Δz = ?L = 100 m, D = 300 mm, f = 0,0223× curva (K = 0,3)

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 100 m con diametro interno di 300 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
PQ = 20 L/sH = 50 m

In una prova, una pompa eroga 20 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 50 m mentre il suo albero assorbe 16,4 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.

Q = 20 L/sH = 50 mPshaft = 16,4 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
PQ = 80 L/sΔz = 9 mL = 300 m, D = 200 mm, f = 0,018, ΣK = 3

Una pompa trasferisce 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 9 m più in alto. Il tubo è lungo 300 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 3 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 72%. Trova la potenza all’albero Pshaft in kW.

Q = 80 L/sΔz = 9 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 3η = 72%
Pshaft = kW

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 202,3 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

yc = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
paratoiad = 1,5 mH = 2,5 mF

Forza risultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·7,5 = 202,3 kN

Risposta

F = 202,3 kN
2.Spinta idrostatica

Risposta: ycp = 3,028 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

yc = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
paratoiad = 2,5 mH = 1 mF

Forza risultante

F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3·2 = 51,8 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

Ic = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0,1667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 0,1667/(3·2) = 3,028 m

Risposta

ycp = 3,028 m
3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p2 = 220,9 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(200/75)² = 14,22 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 14,22²)/1000 = −99,14 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 320 + (−99,14) = 220,9 kPa

Risposta

p2 = 220,9 kPa
4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p2 = 317,8 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(75/40)² = 2,637 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 2,637²)/1000 = −3,195 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·5/1000 = 49,05 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 370 + (−3,195) − 49,05 = 317,8 kPa

Risposta

p2 = 317,8 kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: hf = 14,87 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità media

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²
V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

Altezza cinetica

V²/(2g) = 2,546²/(2·9,81) = 0,3305 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(300/0,1)·2,546²/(2·9,81) = 14,87 m

Risposta

hf = 14,87 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 0,6733 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s
V²/(2g) = 0,05738 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,022·100/0,3 = 7,333
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Perdita di carico totale

hf = 7,333·0,05738 = 0,4208 m
hm = 4,4·0,05738 = 0,2525 m
Δz = hf + hm = 0,6733 m

Risposta

Δz = 0,6733 m
7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: η = 59,82 %

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·50 = 9,81 kW

Rendimento

η = Ph/Pshaft = 9,81/16,4 = 59,82%

Risposta

η = 59,82%
8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: Pshaft = 20,62 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m

Perdite di carico

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 3)·0,3305 = 9,915 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + hL = 9 + 9,915 = 18,92 m

Potenza all’albero

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·18,92/0,72 = 20,62 kW

Risposta

Pshaft = 20,62 kW

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