Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 0,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di olio, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

Un tubo di Pitot statico in una condotta d’acqua indica una differenza di 39 kPa tra la pressione di ristagno e la pressione statica. Trova la velocità dell’acqua v alla punta.

p₀ − p = 39 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’ugello di una fontana è rivolto verso l’alto. Appena sotto l’ugello il tubo di alimentazione ha un diametro di 50 mm e una pressione relativa di 20 kPa. Il diametro di uscita dell’ugello è 20 mm e il dislivello attraverso l’ugello è trascurabile. Trascurando le perdite e la resistenza dell’aria, trova l’altezza H a cui il getto sale sopra l’ugello. Usa g = 9,81 m/s².

d₁ = 50 mmp₁ = 20 kPa (relativa)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una portata di 40 L/s in un tubo lungo 400 m con diametro interno di 150 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

Q = 40 L/sL = 400 mD = 150 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

In una prova, una pompa eroga 10 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 16 m mentre il suo albero assorbe 2 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.

Q = 10 L/sH = 16 mP_shaft = 2 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 11 m più in alto. Il tubo è lungo 200 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 50 L/sΔz = 11 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 8

H = m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 44,15 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·3 = 44,15 kN

Risposta

F = 44,15 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 2,533 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,5·2 = 43,16 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0,1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 0,1667/(2,5·2) = 2,533 m

Risposta

y_cp = 2,533 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: v = 8,832 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli fino al punto di ristagno

Il flusso si arresta alla punta, quindi la sua energia cinetica si manifesta come pressione aggiuntiva.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·39000/1000) = 8,832 m/s

Risposta

v = 8,832 m/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: H = 2,092 m

Velocità di uscita

β = 20/50 = 0,4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·20000/(1000·0,9744)) = 6,407 m/s

Altezza del getto

Bernoulli lungo il getto: in cima la velocità è nulla e la pressione è di nuovo atmosferica.

H = v₂²/(2g) = 6,407²/(2·9,81) = 2,092 m

Risposta

H = 2,092 m

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 19,5 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità media

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

Altezza cinetica

V²/(2g) = 2,264²/(2·9,81) = 0,2611 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(400/0,15)·2,264²/(2·9,81) = 19,5 m

Risposta

h_f = 19,5 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 9,631 m

Velocità

V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s

V²/(2g) = 0,5164 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,015·150/0,2 = 11,25

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Perdita di carico totale

h_f = 11,25·0,5164 = 5,81 m

h_m = 7,4·0,5164 = 3,821 m

Δz = h_f + h_m = 9,631 m

Risposta

Δz = 9,631 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: η = 78,48 %

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·16 = 1,57 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 1,57/2 = 78,48%

Risposta

η = 78,48%

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 27,87 m

Velocità

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33,33 + 8)·0,408 = 16,87 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.

H = Δz + h_L = 11 + 16,87 = 27,87 m

Risposta

H = 27,87 m

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