Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre a 36 L/s in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 75 mm. La pressione nella sezione stretta è 90 kPa. Trascurando le perdite, trova la pressione p₁ nella sezione larga.

Q = 36 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 90 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 100 mm a 40 mm salendo di 7 m. Nella sezione 1 la pressione è 300 kPa e la velocità è 2,25 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nella sezione 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 300 kPav₁ = 2,25 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una velocità media di 2,6 m/s in un tubo lungo 200 m con diametro interno di 250 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

V = 2,6 m/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 300 m con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 0,2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

In una prova, una pompa eroga 25 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 34 m mentre il suo albero assorbe 10,4 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.

Q = 25 L/sH = 34 mP_shaft = 10,4 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 100 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 12 m più in alto. Il tubo è lungo 150 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 4 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 82%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 100 L/sΔz = 12 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 4η = 82%

P_shaft = kW

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 64,38 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·3,75 = 64,38 kN

Risposta

F = 64,38 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 176,6 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·4,5 = 176,6 kN

Risposta

F = 176,6 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₁ = 121,1 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità

v₁ = Q/A₁ = 0,036/0,01767 = 2,037 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,036/0,004418 = 8,149 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 90 + ½·1000·(8,149² − 2,037²)/1000 = 90 + 31,13 = 121,1 kPa

Risposta

p₁ = 121,1 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 135 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(100/40)² = 14,06 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 14,06²)/1000 = −96,35 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 300 + (−96,35) − 68,67 = 135 kPa

Risposta

p₂ = 135 kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 8,269 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 2,6²/(2·9,81) = 0,3445 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(200/0,25)·2,6²/(2·9,81) = 8,269 m

Risposta

h_f = 8,269 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 13,12 m

Velocità

V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s

V²/(2g) = 0,5164 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,015·300/0,2 = 22,5

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

Perdita di carico totale

h_f = 22,5·0,5164 = 11,62 m

h_m = 2,9·0,5164 = 1,498 m

Δz = h_f + h_m = 13,12 m

Risposta

Δz = 13,12 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: η = 80,18 %

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·34 = 8,338 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 8,338/10,4 = 80,18%

Risposta

η = 80,18%

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 18,4 kW

Velocità

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 4)·0,2115 = 3,384 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 12 + 3,384 = 15,38 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·15,38/0,82 = 18,4 kW

Risposta

P_shaft = 18,4 kW

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