Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 3 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre in un venturimetro orizzontale con diametro d’ingresso di 200 mm e diametro della gola di 150 mm. La pressione all’ingresso è 48 kPa più alta che nella gola. Trascurando le perdite, trova la portata Q.

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 48 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un serbatoio d’acqua chiuso contiene aria compressa sopra l’acqua a una pressione relativa di 160 kPa. L’acqua esce all’aria aperta attraverso un’apertura con diametro di 25 mm, 4 m sotto il pelo libero. Trascurando le perdite, trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².

p_air = 160 kPa (relativa)h = 4 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una velocità media di 2,4 m/s in un tubo lungo 800 m con diametro interno di 200 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

V = 2,4 m/sL = 800 mD = 200 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 35 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.

Δz = 35 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 30 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 68 m. Il rendimento della pompa è del 78% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 92%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 30 L/sH = 68 mη_pump = 78%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 10 m più in alto. Il tubo è lungo 300 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 5 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 150 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 50 L/sΔz = 10 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 5p_tank = 150 kPa

H = m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 147,2 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·6 = 147,2 kN

Risposta

F = 147,2 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 56,56 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,75·1,5 = 56,56 kN

Risposta

F = 56,56 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 209,4 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuità

v₁ = v₂·(150/200)² = 0,5625·v₂

Bernoulli tra ingresso e gola

Il tubo è orizzontale, quindi cambiano solo pressione e velocità.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·48000/(1000·(1 − 0,3164))) = 11,85 m/s

v₁ = 6,666 m/s

Portata

Q = A₂·v₂ = 0,01767·11,85 = 0,2094 m³/s = 209,4 L/s

Risposta

Q = 209,4 L/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 9,799 L/s

Bernoulli dal pelo libero al getto

v = √(2·(160000/1000 + 9,81·4)) = 19,96 m/s

Portata

Q = A·v = 0,0004909·19,96 = 0,009799 m³/s = 9,799 L/s

Risposta

Q = 9,799 L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 35,23 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 2,4²/(2·9,81) = 0,2936 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(800/0,2)·2,4²/(2·9,81) = 35,23 m

Risposta

h_f = 35,23 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Q = 168,4 L/s

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,022·150/0,2 = 16,5

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Equazione dell’energia

Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.

35 = (16,5 + 7,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·35/23,9) = 5,36 m/s

Portata

Q = V·π·D²/4 = 5,36·0,03142 = 0,1684 m³/s = 168,4 L/s

Risposta

Q = 168,4 L/s

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 27,89 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·68 = 20,01 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 20,01/0,78 = 25,66 kW

Potenza elettrica

P_el = 25,66/0,92 = 27,89 kW

Risposta

P_el = 27,89 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 43,65 m

Velocità

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 5)·0,408 = 18,36 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 10 + 15,29 + 18,36 = 43,65 m

Risposta

H = 43,65 m

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