Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 3 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 0,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuità e BernoulliMedia
Acqua scorre a 40 L/s in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 100 mm. La pressione nella sezione stretta è 240 kPa. Trascurando le perdite, trova la pressione p1 nella sezione larga.
Q = 40 L/sd1 = 150 mmd2 = 100 mmp2 = 240 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
L’acqua sale in un tubo che si restringe da 200 mm a 100 mm salendo di 9 m. Nella sezione 1 la pressione è 290 kPa e la velocità è 1,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nella sezione 2.
d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 290 kPav1 = 1,5 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua scorre con una velocità media di 1,9 m/s in un tubo lungo 300 m con diametro interno di 100 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
V = 1,9 m/sL = 300 mD = 100 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 100 m con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 7 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.
Δz = 7 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
Una pompa con rendimento del 82% eroga 10 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 14 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero Pshaft necessaria, in kW.
Q = 10 L/sH = 14 mη = 82%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 12 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 6 m più in alto. Il tubo è lungo 300 m, con diametro interno di 100 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.
Q = 12 L/sΔz = 6 mL = 300 mD = 100 mmf = 0,018ΣK = 8
H = m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 55,18 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,75·1,5 = 55,18 kN
Risposta
F = 55,18 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 2,375 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·2·4,5 = 90,5 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 1,5·3³/12 = 3,375 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 3,375/(2·4,5) = 2,375 m
Risposta
ycp = 2,375 m
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: p1 = 250,4 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocità
v1 = Q/A1 = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
v2 = Q/A2 = 0,04/0,007854 = 5,093 m/s
Bernoulli
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 240 + ½·1000·(5,093² − 2,264²)/1000 = 240 + 10,41 = 250,4 kPa
Risposta
p1 = 250,4 kPa
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 184,8 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,5·(200/100)² = 6 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,5² − 6²)/1000 = −16,88 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 290 + (−16,88) − 88,29 = 184,8 kPa
Risposta
p2 = 184,8 kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: hf = 13,8 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Altezza cinetica
V²/(2g) = 1,9²/(2·9,81) = 0,184 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(300/0,1)·1,9²/(2·9,81) = 13,8 m
Risposta
hf = 13,8 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Q = 99,47 L/s
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,018·100/0,2 = 9
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7
Equazione dell’energia
Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.
7 = (9 + 4,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·7/13,7) = 3,166 m/s
Portata
Q = V·π·D²/4 = 3,166·0,03142 = 0,09947 m³/s = 99,47 L/s
Risposta
Q = 99,47 L/s
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pshaft = 1,675 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·14 = 1,373 kW
Potenza all’albero
Pshaft = Ph/η = 1,373/0,82 = 1,675 kW
Risposta
Pshaft = 1,675 kW
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: H = 13,38 m
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s
V²/(2g) = 0,119 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (54 + 8)·0,119 = 7,377 m
Prevalenza della pompa
Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.
H = Δz + hL = 6 + 7,377 = 13,38 m
Risposta
H = 13,38 m
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