Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di olio, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 1,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

Un tubo di Pitot statico in una condotta d’acqua indica una differenza di 11 kPa tra la pressione di ristagno e la pressione statica. Trova la velocità dell’acqua v alla punta.

p₀ − p = 11 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un venturimetro orizzontale (ingresso 200 mm, gola 150 mm) è attraversato da acqua. Un manometro differenziale a U a mercurio collegato tra ingresso e gola mostra un dislivello di 400 mm. Il coefficiente di efflusso è 0,99. Trova la portata Q. Usa ρ = 1000 kg/m³ per l’acqua, 13 600 kg/m³ per il mercurio e g = 9,81 m/s².

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmΔh = 400 mmC_d = 0,99ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 1,2 m/s in un tubo orizzontale lungo 300 m con diametro interno di 75 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 1,2 m/sL = 300 mD = 75 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 200 m con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 20 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 40 m. Il rendimento della pompa è del 78% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 94%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 20 L/sH = 40 mη_pump = 78%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 75 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 8 m più in alto. Il tubo è lungo 200 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 5 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 250 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 75 L/sΔz = 8 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 5p_tank = 250 kPa

H = m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 138 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·3,75 = 138 kN

Risposta

F = 138 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 2,633 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,5·4 = 86,33 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1,333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 1,333/(2,5·4) = 2,633 m

Risposta

y_cp = 2,633 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: v = 4,69 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli fino al punto di ristagno

Il flusso si arresta alla punta, quindi la sua energia cinetica si manifesta come pressione aggiuntiva.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·11000/1000) = 4,69 m/s

Risposta

v = 4,69 m/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 210,4 L/s

Differenza di pressione dal manometro

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,4 = 49442 Pa

Velocità nella gola

Continuità e Bernoulli insieme danno la velocità ideale nella gola.

β = 150/200 = 0,75

v₂ = √(2·49442/(1000·(1 − 0,3164))) = 12,03 m/s

Portata reale

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,99·0,01767·12,03 = 0,2104 m³/s = 210,4 L/s

Risposta

Q = 210,4 L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 72 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(300/0,075)·1,2²/(2·9,81) = 7,339 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·7,339 = 72000 Pa = 72 kPa

Risposta

Δp = 72 kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 5,225 m

Velocità

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,025·200/0,25 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Perdita di carico totale

h_f = 20·0,2115 = 4,23 m

h_m = 4,7·0,2115 = 0,9942 m

Δz = h_f + h_m = 5,225 m

Risposta

Δz = 5,225 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 10,7 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·40 = 7,848 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 7,848/0,78 = 10,06 kW

Potenza elettrica

P_el = 10,06/0,94 = 10,7 kW

Risposta

P_el = 10,7 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 41,33 m

Velocità

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 5)·0,2905 = 7,843 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 8 + 25,48 + 7,843 = 41,33 m

Risposta

H = 41,33 m

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