Geotecnica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione efficace nel terreno

Tensione totale: σ = Σγ_i·h_i
Pressione interstiziale: u = γ_w·(z − z_w)
Tensione efficace: σ′ = σ − u
Acqua: γ_w = 9,81 kN/m³

Cedimento di consolidazione

Normalmente consolidato: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tensione finale: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Sovraconsolidato, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Sovraconsolidato, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Grado di sovraconsolidazione: OCR = σ′_p/σ′₀
Tempo di consolidazione: t = T_v·H_dr²/c_v
Percorso di drenaggio: H_dr = H/2 (doppio drenaggio), H (drenaggio singolo)
Fattori di tempo: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

2Esercizi

1.Tensione efficace nel terrenoMedia

Per il profilo del terreno mostrato, trova la pressione interstiziale u nel punto X.

z = 3 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³sabbia: γ_d = 16 kN/m³sabbia: γ_sat = 20,5 kN/m³

u = kPa

2.Tensione efficace nel terrenoDifficile

Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale efficace σ′ nel punto X.

z = 9 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³sabbia: γ_d = 16 kN/m³sabbia: γ_sat = 19 kN/m³argilla: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

3.Cedimento di consolidazioneMedia

Uno strato di argilla sovraconsolidata spesso 3,5 m ha C_c = 0,45, C_r = 0,06 ed e₀ = 1,2. A metà profondità la tensione verticale efficace è 45 kPa e il grado di sovraconsolidazione è OCR = 2,5. Un nuovo edificio aggiunge 50 kPa di tensione verticale a metà profondità. Trova il cedimento di consolidazione primaria S in mm.

H = 3,5 mC_c = 0,45C_r = 0,06e₀ = 1,2σ′₀ = 45 kPaOCR = 2,5Δσ = 50 kPa

S = mm

4.Cedimento di consolidazioneDifficile

Uno strato di argilla spesso 6,5 m ha un coefficiente di consolidazione c_v = 2,5 m²/anno. Poggia su roccia impermeabile, con sabbia sopra, quindi l’acqua drena solo in alto. Per una consolidazione media del 70% il fattore di tempo è T_v = 0,403. Quanti anni t impiega lo strato per raggiungere il 70% di consolidazione?

H = 6,5 mc_v = 2,5 m²/annoU = 70%T_v = 0,403drenaggio singolo

t = anni

5.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

6.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di olio, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 4 mH = 3 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3Soluzioni

1.Tensione efficace nel terreno

Risposta: u = 19,62 kPa

Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γ_w·(profondità sotto la falda).

Pressione interstiziale

La pressione dell’acqua cresce con la profondità sotto la falda.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

Risposta

u = 19,62 kPa

2.Tensione efficace nel terreno

Risposta: σ′ = 99,14 kPa

Tensione totale

Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·4

σ = 16·3 + 19·2 + 18·4 = 158 kPa

Pressione interstiziale

La pressione dell’acqua cresce con la profondità sotto la falda.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Tensione efficace

σ′ = σ − u = 158 − 58,86 = 99,14 kPa

Risposta

σ′ = 99,14 kPa

3.Cedimento di consolidazione

Risposta: S = 30,98 mm

Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo C_r fino alla pressione di preconsolidazione σ′_p e segue C_c solo oltre di essa. Tempo: t = T_v·H_dr²/c_v, dove il percorso di drenaggio H_dr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.

Pressione di preconsolidazione

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·45 = 112,5 kPa

Confronta con la pressione di preconsolidazione

σ′_f = 45 + 50 = 95 kPa ≤ 112,5 kPa

Cedimento

L’argilla resta sulla sua retta di ricompressione.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,06·3,5/(1 + 1,2)·log₁₀(95/45) = 30,98 mm

Risposta

S = 30,98 mm

4.Cedimento di consolidazione

Risposta: t = 6,811 anni

Percorso di drenaggio

H_dr = H = 6,5 m

Tempo

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·6,5²/2,5 = 6,811 anni

Risposta

t = 6,811 anni

5.Spinta idrostatica

Risposta: F = 25,75 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·1,5 = 25,75 kN

Risposta

F = 25,75 kN

6.Spinta idrostatica

Risposta: F = 284,9 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·5,5·6 = 284,9 kN

Risposta

F = 284,9 kN

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