Tensione efficace nel terreno
- Tensione totale
- σ = Σγi·hi
- Pressione interstiziale
- u = γw·(z − zw)
- Tensione efficace
- σ′ = σ − u
- Acqua
- γw = 9,81 kN/m³
Geotecnica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Cedimento di consolidazione
- Normalmente consolidato
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Tensione finale
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- Sovraconsolidato, σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Sovraconsolidato, σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- Grado di sovraconsolidazione
- OCR = σ′p/σ′0
- Tempo di consolidazione
- t = Tv·Hdr²/cv
- Percorso di drenaggio
- Hdr = H/2 (doppio drenaggio), H (drenaggio singolo)
- Fattori di tempo
- U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848
Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
2Esercizi
1.Tensione efficace nel terrenoMedia
Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale efficace σ′ nel punto X.
z = 7 mzw = 3 mγw = 9,81 kN/m³sabbia: γd = 16 kN/m³sabbia: γsat = 19,5 kN/m³
σ′ = kPa
2.Tensione efficace nel terrenoDifficile
Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale efficace σ′ nel punto X.
z = 5 mzw = 2 mγw = 9,81 kN/m³sabbia: γd = 16,5 kN/m³sabbia: γsat = 19,5 kN/m³argilla: γsat = 17 kN/m³
σ′ = kPa
3.Cedimento di consolidazioneMedia
Uno strato di argilla sovraconsolidata spesso 2,5 m ha Cc = 0,2, Cr = 0,05 ed e₀ = 0,75. A metà profondità la tensione verticale efficace è 90 kPa e la pressione di preconsolidazione è 200 kPa. Un nuovo edificio aggiunge 130 kPa di tensione verticale a metà profondità. Trova il cedimento di consolidazione primaria S in mm.
H = 2,5 mCc = 0,2Cr = 0,05e0 = 0,75σ′0 = 90 kPaσ′p = 200 kPaΔσ = 130 kPa
S = mm
4.Cedimento di consolidazioneDifficile
Uno strato di argilla spesso 2 m ha un coefficiente di consolidazione cv = 3 m²/anno. Poggia su roccia impermeabile, con sabbia sopra, quindi l’acqua drena solo in alto. Per una consolidazione media del 90% il fattore di tempo è Tv = 0,848. Quanti anni t impiega lo strato per raggiungere il 90% di consolidazione?
H = 2 mcv = 3 m²/annoU = 90%Tv = 0,848drenaggio singolo
t = anni
5.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
6.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 2,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3Soluzioni
1.Tensione efficace nel terreno
Risposta: σ′ = 86,76 kPa
Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).
Tensione totale
Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16·3 + 19,5·4 = 126 kPa
Pressione interstiziale
La pressione dell’acqua cresce con la profondità sotto la falda.
u = γw·(z − zw) = 9,81·4 = 39,24 kPa
Tensione efficace
σ′ = σ − u = 126 − 39,24 = 86,76 kPa
Risposta
σ′ = 86,76 kPa
2.Tensione efficace nel terreno
Risposta: σ′ = 57,07 kPa
Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).
Tensione totale
Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.
σ = γd·2 + γsat,sand·1 + γsat,clay·2
σ = 16,5·2 + 19,5·1 + 17·2 = 86,5 kPa
Pressione interstiziale
La pressione dell’acqua cresce con la profondità sotto la falda.
u = γw·(z − zw) = 9,81·3 = 29,43 kPa
Tensione efficace
σ′ = σ − u = 86,5 − 29,43 = 57,07 kPa
Risposta
σ′ = 57,07 kPa
3.Cedimento di consolidazione
Risposta: S = 36,6 mm
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
Confronta con la pressione di preconsolidazione
σ′f = 90 + 130 = 220 kPa > 200 kPa
Cedimento
Ricompressione fino a σ′p, compressione vergine oltre.
S = 0,05·2,5/(1 + 0,75)·log₁₀(200/90) + 0,2·2,5/(1 + 0,75)·log₁₀(220/200)
S = 24,77 + 11,83 = 36,6 mm
Risposta
S = 36,6 mm
4.Cedimento di consolidazione
Risposta: t = 1,131 anni
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
Percorso di drenaggio
Hdr = H = 2 m
Tempo
t = Tv·Hdr²/cv = 0,848·2²/3 = 1,131 anni
Risposta
t = 1,131 anni
5.Spinta idrostatica
Risposta: F = 176,6 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3·6 = 176,6 kN
Risposta
F = 176,6 kN
6.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 3,308 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 1,5·2 = 3 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3,25·3 = 120,5 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 2·1,5³/12 = 0,5625 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,25 + 0,5625/(3,25·3) = 3,308 m
Risposta
ycp = 3,308 m
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