Tensione efficace nel terreno
- Tensione totale
- σ = Σγi·hi
- Pressione interstiziale
- u = γw·(z − zw)
- Tensione efficace
- σ′ = σ − u
- Acqua
- γw = 9,81 kN/m³
Geotecnica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Cedimento di consolidazione
- Normalmente consolidato
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Tensione finale
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- Sovraconsolidato, σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Sovraconsolidato, σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- Grado di sovraconsolidazione
- OCR = σ′p/σ′0
- Tempo di consolidazione
- t = Tv·Hdr²/cv
- Percorso di drenaggio
- Hdr = H/2 (doppio drenaggio), H (drenaggio singolo)
- Fattori di tempo
- U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848
Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
2Esercizi
1.Tensione efficace nel terrenoMedia
Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale totale σ nel punto X.
z = 2 mzw = 1 mγw = 9,81 kN/m³sabbia: γd = 17 kN/m³sabbia: γsat = 18,5 kN/m³
σ = kPa
2.Tensione efficace nel terrenoDifficile
Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale efficace σ′ nel punto X.
z = 6 mzw = 2 mγw = 9,81 kN/m³sabbia: γd = 17 kN/m³sabbia: γsat = 18,5 kN/m³argilla: γsat = 17,5 kN/m³
σ′ = kPa
3.Cedimento di consolidazioneMedia
Uno strato di argilla sovraconsolidata spesso 5,5 m ha Cc = 0,25, Cr = 0,05 ed e₀ = 1,05. A metà profondità la tensione verticale efficace è 45 kPa e la pressione di preconsolidazione è 125 kPa. Un nuovo edificio aggiunge 110 kPa di tensione verticale a metà profondità. Trova il cedimento di consolidazione primaria S in mm.
H = 5,5 mCc = 0,25Cr = 0,05e0 = 1,05σ′0 = 45 kPaσ′p = 125 kPaΔσ = 110 kPa
S = mm
4.Cedimento di consolidazioneDifficile
In una prova edometrica di laboratorio, un provino di argilla spesso 19 mm, drenato in alto e in basso, raggiunge il 50% di consolidazione in 6 min. In sito la stessa argilla forma uno strato spesso 9 m. Si trova tra due strati di sabbia, quindi l’acqua drena in alto e in basso. Quanti giorni t impiega lo strato in sito per raggiungere il 50% di consolidazione?
hlab = 19 mmtlab = 6 minH = 9 min sito: doppio drenaggio
t = giorni
5.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 1 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
6.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 2 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3Soluzioni
1.Tensione efficace nel terreno
Risposta: σ = 35,5 kPa
Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).
Tensione totale
Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 17·1 + 18,5·1 = 35,5 kPa
Risposta
σ = 35,5 kPa
2.Tensione efficace nel terreno
Risposta: σ′ = 65,76 kPa
Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).
Tensione totale
Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.
σ = γd·2 + γsat,sand·1 + γsat,clay·3
σ = 17·2 + 18,5·1 + 17,5·3 = 105 kPa
Pressione interstiziale
La pressione dell’acqua cresce con la profondità sotto la falda.
u = γw·(z − zw) = 9,81·4 = 39,24 kPa
Tensione efficace
σ′ = σ − u = 105 − 39,24 = 65,76 kPa
Risposta
σ′ = 65,76 kPa
3.Cedimento di consolidazione
Risposta: S = 122,2 mm
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
Confronta con la pressione di preconsolidazione
σ′f = 45 + 110 = 155 kPa > 125 kPa
Cedimento
Ricompressione fino a σ′p, compressione vergine oltre.
S = 0,05·5,5/(1 + 1,05)·log₁₀(125/45) + 0,25·5,5/(1 + 1,05)·log₁₀(155/125)
S = 59,52 + 62,66 = 122,2 mm
Risposta
S = 122,2 mm
4.Cedimento di consolidazione
Risposta: t = 934,9 giorni
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
Percorsi di drenaggio
Hdr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m
Hdr,field = 9/2 = 4,5 m
Scala il tempo
t = Tv·Hdr²/cv con gli stessi T_v e cv in laboratorio e in sito.
tfield = 6·(4,5/0,0095)² = 1,346 × 10⁶ min
tfield = 1,346 × 10⁶/1440 = 934,9 giorni
Risposta
t = 934,9 giorni
5.Spinta idrostatica
Risposta: F = 110,4 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·4,5 = 110,4 kN
Risposta
F = 110,4 kN
6.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 3,714 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·4,5 = 154,5 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 1,5·3³/12 = 3,375 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,5 + 3,375/(3,5·4,5) = 3,714 m
Risposta
ycp = 3,714 m
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