Tensione efficace nel terreno
- Tensione totale
- σ = Σγi·hi
- Pressione interstiziale
- u = γw·(z − zw)
- Tensione efficace
- σ′ = σ − u
- Acqua
- γw = 9,81 kN/m³
Geotecnica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Cedimento di consolidazione
- Normalmente consolidato
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Tensione finale
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- Sovraconsolidato, σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Sovraconsolidato, σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- Grado di sovraconsolidazione
- OCR = σ′p/σ′0
- Tempo di consolidazione
- t = Tv·Hdr²/cv
- Percorso di drenaggio
- Hdr = H/2 (doppio drenaggio), H (drenaggio singolo)
- Fattori di tempo
- U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848
Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
2Esercizi
1.Tensione efficace nel terrenoMedia
Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale efficace σ′ nel punto X.
z = 8 mzw = 1 mγw = 9,81 kN/m³sabbia: γd = 16,5 kN/m³sabbia: γsat = 19,5 kN/m³
σ′ = kPa
2.Tensione efficace nel terrenoDifficile
Per il profilo del terreno mostrato, trova la pressione interstiziale u nel punto X.
z = 8,5 mzw = 1 mγw = 9,81 kN/m³sabbia: γd = 16 kN/m³sabbia: γsat = 18,5 kN/m³argilla: γsat = 17 kN/m³
u = kPa
3.Cedimento di consolidazioneMedia
Uno strato di argilla sovraconsolidata spesso 2 m ha Cc = 0,45, Cr = 0,06 ed e₀ = 1,15. A metà profondità la tensione verticale efficace è 120 kPa e la pressione di preconsolidazione è 220 kPa. Un nuovo edificio aggiunge 210 kPa di tensione verticale a metà profondità. Trova il cedimento di consolidazione primaria S in mm.
H = 2 mCc = 0,45Cr = 0,06e0 = 1,15σ′0 = 120 kPaσ′p = 220 kPaΔσ = 210 kPa
S = mm
4.Cedimento di consolidazioneDifficile
In una prova edometrica di laboratorio, un provino di argilla spesso 19 mm, drenato in alto e in basso, raggiunge il 50% di consolidazione in 6 min. In sito la stessa argilla forma uno strato spesso 5,5 m. Si trova tra due strati di sabbia, quindi l’acqua drena in alto e in basso. Quanti giorni t impiega lo strato in sito per raggiungere il 50% di consolidazione?
hlab = 19 mmtlab = 6 minH = 5,5 min sito: doppio drenaggio
t = giorni
5.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 3 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
6.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 1 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3Soluzioni
1.Tensione efficace nel terreno
Risposta: σ′ = 84,33 kPa
Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).
Tensione totale
Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16,5·1 + 19,5·7 = 153 kPa
Pressione interstiziale
La pressione dell’acqua cresce con la profondità sotto la falda.
u = γw·(z − zw) = 9,81·7 = 68,67 kPa
Tensione efficace
σ′ = σ − u = 153 − 68,67 = 84,33 kPa
Risposta
σ′ = 84,33 kPa
2.Tensione efficace nel terreno
Risposta: u = 73,58 kPa
Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).
Pressione interstiziale
La pressione dell’acqua cresce con la profondità sotto la falda.
u = γw·(z − zw) = 9,81·7,5 = 73,58 kPa
Risposta
u = 73,58 kPa
3.Cedimento di consolidazione
Risposta: S = 88,41 mm
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
Confronta con la pressione di preconsolidazione
σ′f = 120 + 210 = 330 kPa > 220 kPa
Cedimento
Ricompressione fino a σ′p, compressione vergine oltre.
S = 0,06·2/(1 + 1,15)·log₁₀(220/120) + 0,45·2/(1 + 1,15)·log₁₀(330/220)
S = 14,69 + 73,71 = 88,41 mm
Risposta
S = 88,41 mm
4.Cedimento di consolidazione
Risposta: t = 349,1 giorni
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
Percorsi di drenaggio
Hdr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m
Hdr,field = 5,5/2 = 2,75 m
Scala il tempo
t = Tv·Hdr²/cv con gli stessi T_v e cv in laboratorio e in sito.
tfield = 6·(2,75/0,0095)² = 502770 min
tfield = 502770/1440 = 349,1 giorni
Risposta
t = 349,1 giorni
5.Spinta idrostatica
Risposta: F = 156,3 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,25·3,75 = 156,3 kN
Risposta
F = 156,3 kN
6.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 2,481 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·2,25·3,75 = 104,3 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 1,5·2,5³/12 = 1,953 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2,25 + 1,953/(2,25·3,75) = 2,481 m
Risposta
ycp = 2,481 m
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