Tensione efficace nel terreno
- Tensione totale
- σ = Σγi·hi
- Pressione interstiziale
- u = γw·(z − zw)
- Tensione efficace
- σ′ = σ − u
- Acqua
- γw = 9,81 kN/m³
Geotecnica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Cedimento di consolidazione
- Normalmente consolidato
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Tensione finale
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- Sovraconsolidato, σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Sovraconsolidato, σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- Grado di sovraconsolidazione
- OCR = σ′p/σ′0
- Tempo di consolidazione
- t = Tv·Hdr²/cv
- Percorso di drenaggio
- Hdr = H/2 (doppio drenaggio), H (drenaggio singolo)
- Fattori di tempo
- U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848
Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
2Esercizi
1.Tensione efficace nel terrenoMedia
Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale efficace σ′ nel punto X.
z = 8 mzw = 2 mγw = 9,81 kN/m³sabbia: γd = 16 kN/m³sabbia: γsat = 18,5 kN/m³
σ′ = kPa
2.Tensione efficace nel terrenoDifficile
Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale totale σ nel punto X.
z = 5,5 mzw = 2 mγw = 9,81 kN/m³sabbia: γd = 16 kN/m³sabbia: γsat = 20,5 kN/m³argilla: γsat = 17,5 kN/m³
σ = kPa
3.Cedimento di consolidazioneMedia
Uno strato di argilla sovraconsolidata spesso 5,5 m ha Cc = 0,3, Cr = 0,02 ed e₀ = 0,6. A metà profondità la tensione verticale efficace è 40 kPa e la pressione di preconsolidazione è 70 kPa. Un nuovo edificio aggiunge 10 kPa di tensione verticale a metà profondità. Trova il cedimento di consolidazione primaria S in mm.
H = 5,5 mCc = 0,3Cr = 0,02e0 = 0,6σ′0 = 40 kPaσ′p = 70 kPaΔσ = 10 kPa
S = mm
4.Cedimento di consolidazioneDifficile
Uno strato di argilla spesso 4,5 m ha un coefficiente di consolidazione cv = 1 m²/anno. Si trova tra due strati di sabbia, quindi l’acqua drena in alto e in basso. Per una consolidazione media del 50% il fattore di tempo è Tv = 0,197. Quanti anni t impiega lo strato per raggiungere il 50% di consolidazione?
H = 4,5 mcv = 1 m²/annoU = 50%Tv = 0,197doppio drenaggio
t = anni
5.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
6.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 1,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3Soluzioni
1.Tensione efficace nel terreno
Risposta: σ′ = 84,14 kPa
Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).
Tensione totale
Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16·2 + 18,5·6 = 143 kPa
Pressione interstiziale
La pressione dell’acqua cresce con la profondità sotto la falda.
u = γw·(z − zw) = 9,81·6 = 58,86 kPa
Tensione efficace
σ′ = σ − u = 143 − 58,86 = 84,14 kPa
Risposta
σ′ = 84,14 kPa
2.Tensione efficace nel terreno
Risposta: σ = 96,25 kPa
Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).
Tensione totale
Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.
σ = γd·2 + γsat,sand·1 + γsat,clay·2,5
σ = 16·2 + 20,5·1 + 17,5·2,5 = 96,25 kPa
Risposta
σ = 96,25 kPa
3.Cedimento di consolidazione
Risposta: S = 6,663 mm
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
Confronta con la pressione di preconsolidazione
σ′f = 40 + 10 = 50 kPa ≤ 70 kPa
Cedimento
L’argilla resta sulla sua retta di ricompressione.
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0,02·5,5/(1 + 0,6)·log₁₀(50/40) = 6,663 mm
Risposta
S = 6,663 mm
4.Cedimento di consolidazione
Risposta: t = 0,9973 anni
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
Percorso di drenaggio
Hdr = H/2 = 4,5/2 = 2,25 m
Tempo
t = Tv·Hdr²/cv = 0,197·2,25²/1 = 0,9973 anni
Risposta
t = 0,9973 anni
5.Spinta idrostatica
Risposta: F = 49,05 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·2 = 49,05 kN
Risposta
F = 49,05 kN
6.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 2,633 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m
A = H·b = 2·1,5 = 3 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·2,5·3 = 92,7 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2,5 + 1/(2,5·3) = 2,633 m
Risposta
ycp = 2,633 m
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