Geotecnica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione efficace nel terreno

Tensione totale: σ = Σγ_i·h_i
Pressione interstiziale: u = γ_w·(z − z_w)
Tensione efficace: σ′ = σ − u
Acqua: γ_w = 9,81 kN/m³

Cedimento di consolidazione

Normalmente consolidato: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tensione finale: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Sovraconsolidato, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Sovraconsolidato, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Grado di sovraconsolidazione: OCR = σ′_p/σ′₀
Tempo di consolidazione: t = T_v·H_dr²/c_v
Percorso di drenaggio: H_dr = H/2 (doppio drenaggio), H (drenaggio singolo)
Fattori di tempo: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

2Esercizi

1.Tensione efficace nel terrenoMedia

Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale totale σ nel punto X.

z = 4 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³sabbia: γ_d = 17 kN/m³sabbia: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

2.Tensione efficace nel terrenoDifficile

Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale totale σ nel punto X.

z = 9 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³sabbia: γ_d = 15,5 kN/m³sabbia: γ_sat = 18,5 kN/m³argilla: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

3.Cedimento di consolidazioneMedia

Uno strato di argilla sovraconsolidata spesso 3 m ha C_c = 0,5, C_r = 0,05 ed e₀ = 0,9. A metà profondità la tensione verticale efficace è 120 kPa e la pressione di preconsolidazione è 170 kPa. Un nuovo edificio aggiunge 80 kPa di tensione verticale a metà profondità. Trova il cedimento di consolidazione primaria S in mm.

H = 3 mC_c = 0,5C_r = 0,05e₀ = 0,9σ′₀ = 120 kPaσ′_p = 170 kPaΔσ = 80 kPa

S = mm

4.Cedimento di consolidazioneDifficile

In una prova edometrica di laboratorio, un provino di argilla spesso 19 mm, drenato in alto e in basso, raggiunge il 50% di consolidazione in 6 min. In sito la stessa argilla forma uno strato spesso 4,5 m. Si trova tra due strati di sabbia, quindi l’acqua drena in alto e in basso. Quanti giorni t impiega lo strato in sito per raggiungere il 50% di consolidazione?

h_lab = 19 mmt_lab = 6 minH = 4,5 min sito: doppio drenaggio

t = giorni

5.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

6.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di olio, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3Soluzioni

1.Tensione efficace nel terreno

Risposta: σ = 74 kPa

Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γ_w·(profondità sotto la falda).

Tensione totale

Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·1 + 19·3 = 74 kPa

Risposta

σ = 74 kPa

2.Tensione efficace nel terreno

Risposta: σ = 162,5 kPa

Tensione totale

Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·4

σ = 15,5·2 + 18,5·3 + 19·4 = 162,5 kPa

Risposta

σ = 162,5 kPa

3.Cedimento di consolidazione

Risposta: S = 67,66 mm

Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo C_r fino alla pressione di preconsolidazione σ′_p e segue C_c solo oltre di essa. Tempo: t = T_v·H_dr²/c_v, dove il percorso di drenaggio H_dr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.

Confronta con la pressione di preconsolidazione

σ′_f = 120 + 80 = 200 kPa > 170 kPa

Cedimento

Ricompressione fino a σ′_p, compressione vergine oltre.

S = 0,05·3/(1 + 0,9)·log₁₀(170/120) + 0,5·3/(1 + 0,9)·log₁₀(200/170)

S = 11,94 + 55,72 = 67,66 mm

Risposta

S = 67,66 mm

4.Cedimento di consolidazione

Risposta: t = 233,7 giorni

Percorsi di drenaggio

H_dr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m

H_dr,field = 4,5/2 = 2,25 m

Scala il tempo

t = T_v·H_dr²/c_v con gli stessi T_v e c_v in laboratorio e in sito.

t_field = 6·(2,25/0,0095)² = 336565 min

t_field = 336565/1440 = 233,7 giorni

Risposta

t = 233,7 giorni

5.Spinta idrostatica

Risposta: F = 110,4 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·5 = 110,4 kN

Risposta

F = 110,4 kN

6.Spinta idrostatica

Risposta: F = 58,27 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,25·3 = 58,27 kN

Risposta

F = 58,27 kN

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