Tensione efficace nel terreno
- Tensione totale
- σ = Σγi·hi
- Pressione interstiziale
- u = γw·(z − zw)
- Tensione efficace
- σ′ = σ − u
- Acqua
- γw = 9,81 kN/m³
Geotecnica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Cedimento di consolidazione
- Normalmente consolidato
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Tensione finale
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- Sovraconsolidato, σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Sovraconsolidato, σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- Grado di sovraconsolidazione
- OCR = σ′p/σ′0
- Tempo di consolidazione
- t = Tv·Hdr²/cv
- Percorso di drenaggio
- Hdr = H/2 (doppio drenaggio), H (drenaggio singolo)
- Fattori di tempo
- U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848
Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
2Esercizi
1.Tensione efficace nel terrenoMedia
Per il profilo del terreno mostrato, trova la pressione interstiziale u nel punto X.
z = 6 mzw = 2 mγw = 9,81 kN/m³sabbia: γd = 17 kN/m³sabbia: γsat = 20 kN/m³
u = kPa
2.Tensione efficace nel terrenoDifficile
Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale totale σ nel punto X.
z = 9,5 mzw = 5 mγw = 9,81 kN/m³sabbia: γd = 16 kN/m³sabbia: γsat = 19,5 kN/m³argilla: γsat = 18 kN/m³
σ = kPa
3.Cedimento di consolidazioneMedia
Uno strato di argilla sovraconsolidata spesso 2 m ha Cc = 0,4, Cr = 0,03 ed e₀ = 1,2. A metà profondità la tensione verticale efficace è 120 kPa e la pressione di preconsolidazione è 170 kPa. Un nuovo edificio aggiunge 150 kPa di tensione verticale a metà profondità. Trova il cedimento di consolidazione primaria S in mm.
H = 2 mCc = 0,4Cr = 0,03e0 = 1,2σ′0 = 120 kPaσ′p = 170 kPaΔσ = 150 kPa
S = mm
4.Cedimento di consolidazioneDifficile
Uno strato di argilla spesso 8 m ha un coefficiente di consolidazione cv = 0,5 m²/anno. Si trova tra due strati di sabbia, quindi l’acqua drena in alto e in basso. Per una consolidazione media del 70% il fattore di tempo è Tv = 0,403. Quanti anni t impiega lo strato per raggiungere il 70% di consolidazione?
H = 8 mcv = 0,5 m²/annoU = 70%Tv = 0,403doppio drenaggio
t = anni
5.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 1 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
6.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di olio, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 2,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3Soluzioni
1.Tensione efficace nel terreno
Risposta: u = 39,24 kPa
Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).
Pressione interstiziale
La pressione dell’acqua cresce con la profondità sotto la falda.
u = γw·(z − zw) = 9,81·4 = 39,24 kPa
Risposta
u = 39,24 kPa
2.Tensione efficace nel terreno
Risposta: σ = 162,5 kPa
Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).
Tensione totale
Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.
σ = γd·5 + γsat,sand·1 + γsat,clay·3,5
σ = 16·5 + 19,5·1 + 18·3,5 = 162,5 kPa
Risposta
σ = 162,5 kPa
3.Cedimento di consolidazione
Risposta: S = 77,19 mm
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
Confronta con la pressione di preconsolidazione
σ′f = 120 + 150 = 270 kPa > 170 kPa
Cedimento
Ricompressione fino a σ′p, compressione vergine oltre.
S = 0,03·2/(1 + 1,2)·log₁₀(170/120) + 0,4·2/(1 + 1,2)·log₁₀(270/170)
S = 4,125 + 73,06 = 77,19 mm
Risposta
S = 77,19 mm
4.Cedimento di consolidazione
Risposta: t = 12,9 anni
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
Percorso di drenaggio
Hdr = H/2 = 8/2 = 4 m
Tempo
t = Tv·Hdr²/cv = 0,403·4²/0,5 = 12,9 anni
Risposta
t = 12,9 anni
5.Spinta idrostatica
Risposta: F = 58,86 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·1,5 = 3 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN
Risposta
F = 58,86 kN
6.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 3,028 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3·2 = 51,8 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0,1667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 0,1667/(3·2) = 3,028 m
Risposta
ycp = 3,028 m
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