Tensione efficace nel terreno
- Tensione totale
- σ = Σγi·hi
- Pressione interstiziale
- u = γw·(z − zw)
- Tensione efficace
- σ′ = σ − u
- Acqua
- γw = 9,81 kN/m³
Geotecnica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Cedimento di consolidazione
- Normalmente consolidato
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Tensione finale
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- Sovraconsolidato, σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Sovraconsolidato, σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- Grado di sovraconsolidazione
- OCR = σ′p/σ′0
- Tempo di consolidazione
- t = Tv·Hdr²/cv
- Percorso di drenaggio
- Hdr = H/2 (doppio drenaggio), H (drenaggio singolo)
- Fattori di tempo
- U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848
Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
2Esercizi
1.Tensione efficace nel terrenoMedia
Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale totale σ nel punto X.
z = 2 mzw = 1 mγw = 9,81 kN/m³sabbia: γd = 16 kN/m³sabbia: γsat = 20,5 kN/m³
σ = kPa
2.Tensione efficace nel terrenoDifficile
Per il profilo del terreno mostrato, trova la pressione interstiziale u nel punto X.
z = 6,5 mzw = 2 mγw = 9,81 kN/m³sabbia: γd = 17 kN/m³sabbia: γsat = 18,5 kN/m³argilla: γsat = 17 kN/m³
u = kPa
3.Cedimento di consolidazioneMedia
Uno strato di argilla sovraconsolidata spesso 7,5 m ha Cc = 0,45, Cr = 0,04 ed e₀ = 0,9. A metà profondità la tensione verticale efficace è 85 kPa e la pressione di preconsolidazione è 155 kPa. Un nuovo edificio aggiunge 55 kPa di tensione verticale a metà profondità. Trova il cedimento di consolidazione primaria S in mm.
H = 7,5 mCc = 0,45Cr = 0,04e0 = 0,9σ′0 = 85 kPaσ′p = 155 kPaΔσ = 55 kPa
S = mm
4.Cedimento di consolidazioneDifficile
Uno strato di argilla spesso 10 m ha un coefficiente di consolidazione cv = 1,2 m²/anno. Si trova tra due strati di sabbia, quindi l’acqua drena in alto e in basso. Per una consolidazione media del 50% il fattore di tempo è Tv = 0,197. Quanti anni t impiega lo strato per raggiungere il 50% di consolidazione?
H = 10 mcv = 1,2 m²/annoU = 50%Tv = 0,197doppio drenaggio
t = anni
5.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 3 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
6.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 1 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3Soluzioni
1.Tensione efficace nel terreno
Risposta: σ = 36,5 kPa
Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).
Tensione totale
Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16·1 + 20,5·1 = 36,5 kPa
Risposta
σ = 36,5 kPa
2.Tensione efficace nel terreno
Risposta: u = 44,15 kPa
Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).
Pressione interstiziale
La pressione dell’acqua cresce con la profondità sotto la falda.
u = γw·(z − zw) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa
Risposta
u = 44,15 kPa
3.Cedimento di consolidazione
Risposta: S = 34,22 mm
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
Confronta con la pressione di preconsolidazione
σ′f = 85 + 55 = 140 kPa ≤ 155 kPa
Cedimento
L’argilla resta sulla sua retta di ricompressione.
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0,04·7,5/(1 + 0,9)·log₁₀(140/85) = 34,22 mm
Risposta
S = 34,22 mm
4.Cedimento di consolidazione
Risposta: t = 4,104 anni
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
Percorso di drenaggio
Hdr = H/2 = 10/2 = 5 m
Tempo
t = Tv·Hdr²/cv = 0,197·5²/1,2 = 4,104 anni
Risposta
t = 4,104 anni
5.Spinta idrostatica
Risposta: F = 198,7 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,5·4,5 = 198,7 kN
Risposta
F = 198,7 kN
6.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 1,857 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·1,75·2,25 = 39,59 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1,75 + 0,4219/(1,75·2,25) = 1,857 m
Risposta
ycp = 1,857 m
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