Geotecnica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione efficace nel terreno

Tensione totale: σ = Σγ_i·h_i
Pressione interstiziale: u = γ_w·(z − z_w)
Tensione efficace: σ′ = σ − u
Acqua: γ_w = 9,81 kN/m³

Cedimento di consolidazione

Normalmente consolidato: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tensione finale: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Sovraconsolidato, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Sovraconsolidato, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Grado di sovraconsolidazione: OCR = σ′_p/σ′₀
Tempo di consolidazione: t = T_v·H_dr²/c_v
Percorso di drenaggio: H_dr = H/2 (doppio drenaggio), H (drenaggio singolo)
Fattori di tempo: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

2Esercizi

1.Tensione efficace nel terrenoMedia

Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale totale σ nel punto X.

z = 10 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³sabbia: γ_d = 16 kN/m³sabbia: γ_sat = 20,5 kN/m³

σ = kPa

2.Tensione efficace nel terrenoDifficile

Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale efficace σ′ nel punto X.

z = 9,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³sabbia: γ_d = 15 kN/m³sabbia: γ_sat = 18,5 kN/m³argilla: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

3.Cedimento di consolidazioneMedia

Uno strato di argilla sovraconsolidata spesso 2 m ha C_c = 0,25, C_r = 0,02 ed e₀ = 0,6. A metà profondità la tensione verticale efficace è 70 kPa e il grado di sovraconsolidazione è OCR = 3. Un nuovo edificio aggiunge 110 kPa di tensione verticale a metà profondità. Trova il cedimento di consolidazione primaria S in mm.

H = 2 mC_c = 0,25C_r = 0,02e₀ = 0,6σ′₀ = 70 kPaOCR = 3Δσ = 110 kPa

S = mm

4.Cedimento di consolidazioneDifficile

Uno strato di argilla spesso 5 m ha un coefficiente di consolidazione c_v = 0,8 m²/anno. Si trova tra due strati di sabbia, quindi l’acqua drena in alto e in basso. Per una consolidazione media del 70% il fattore di tempo è T_v = 0,403. Quanti anni t impiega lo strato per raggiungere il 70% di consolidazione?

H = 5 mc_v = 0,8 m²/annoU = 70%T_v = 0,403doppio drenaggio

t = anni

5.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 4 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

6.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3Soluzioni

1.Tensione efficace nel terreno

Risposta: σ = 196 kPa

Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γ_w·(profondità sotto la falda).

Tensione totale

Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·2 + 20,5·8 = 196 kPa

Risposta

σ = 196 kPa

2.Tensione efficace nel terreno

Risposta: σ′ = 90,61 kPa

Tensione totale

Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·5 + γ_sat,clay·3,5

σ = 15·1 + 18,5·5 + 19·3,5 = 174 kPa

Pressione interstiziale

La pressione dell’acqua cresce con la profondità sotto la falda.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·8,5 = 83,39 kPa

Tensione efficace

σ′ = σ − u = 174 − 83,39 = 90,61 kPa

Risposta

σ′ = 90,61 kPa

3.Cedimento di consolidazione

Risposta: S = 10,25 mm

Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo C_r fino alla pressione di preconsolidazione σ′_p e segue C_c solo oltre di essa. Tempo: t = T_v·H_dr²/c_v, dove il percorso di drenaggio H_dr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.

Pressione di preconsolidazione

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·70 = 210 kPa

Confronta con la pressione di preconsolidazione

σ′_f = 70 + 110 = 180 kPa ≤ 210 kPa

Cedimento

L’argilla resta sulla sua retta di ricompressione.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,02·2/(1 + 0,6)·log₁₀(180/70) = 10,25 mm

Risposta

S = 10,25 mm

4.Cedimento di consolidazione

Risposta: t = 3,148 anni

Percorso di drenaggio

H_dr = H/2 = 5/2 = 2,5 m

Tempo

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·2,5²/0,8 = 3,148 anni

Risposta

t = 3,148 anni

5.Spinta idrostatica

Risposta: F = 139,8 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,75·3 = 139,8 kN

Risposta

F = 139,8 kN

6.Spinta idrostatica

Risposta: F = 138 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·3,75 = 138 kN

Risposta

F = 138 kN

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