Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 250 mm di calcestruzzo e 150 mm di legno, con un’area di 12 m². Le facce esterne sono a 24 °C e -4 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 24 °CT3 = -4 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 200 mm vetro e 100 mm polistirene espanso separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a 4 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 4 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 200 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 4 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 4 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 390 kW. Il fluido caldo si raffredda da 105 a 70 °C e il fluido freddo si riscalda da 25 a 40 °C. Il coefficiente globale di scambio è 300 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 390 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 105 → 70 °CTc: 25 → 40 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (1,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) si raffredda da 130 a 65 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 0,5 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 15 °C. Con U = 300 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 130 → 65 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = 19,29 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·12) = 0,01488 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·12) = 0,07353 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 28/0,08841 = 316,7 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 316,7·0,01488 = 19,29 °C
Risposta
Ti = 19,29 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 22,3 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·4) = 0,03247 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,96·4) = 0,05208 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·4) = 0,7143 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·4) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,8072 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (22 − (4))/0,8072 = 22,3 W
Risposta
Q̇ = 22,3 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 23,9 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 40 = 65 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 25 = 45 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (65 − 45)/ln(65/45) = 54,39 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 390000/(300·54,39) = 23,9 m²
Risposta
A = 23,9 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 22,29 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,1·65 = 204,8 kW
Tc,out = 15 + 204,8/(0,5·4,18) = 113 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 113 = 17,03 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 15 = 50 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (17,03 − 50)/ln(17,03/50) = 30,61 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 204750/(300·30,61) = 22,29 m²
Risposta
A = 22,29 m²
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