Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 200 mm di polistirene espanso e 25 mm di legno, con un’area di 15 m². Le facce esterne sono a 19 °C e -6 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 19 °CT3 = -6 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 250 mm mattone e 100 mm lana minerale separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a -12 °C. I coefficienti di convezione sono 10 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 12 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -12 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 440 kW. Il fluido caldo si raffredda da 175 a 45 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 45 °C. Il coefficiente globale di scambio è 300 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 440 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 175 → 45 °CTc: 10 → 45 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) si raffredda da 145 a 85 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 25 °C. Con U = 200 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 145 → 85 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = −5,373 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·15) = 0,381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·15) = 0,009804 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 25/0,3908 = 63,98 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 63,98·0,381 = −5,373 °C
Risposta
Ti = −5,373 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 132,6 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·12) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·12) = 0,02894 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·12) = 0,2083 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,2489 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (21 − (-12))/0,2489 = 132,6 W
Risposta
Q̇ = 132,6 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 20,26 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 175 − 45 = 130 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 10 = 35 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (130 − 35)/ln(130/35) = 72,4 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 440000/(300·72,4) = 20,26 m²
Risposta
A = 20,26 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 27,83 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,5·60 = 300 kW
Tc,out = 25 + 300/(1·4,18) = 96,77 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 145 − 96,77 = 48,23 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 25 = 60 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (48,23 − 60)/ln(48,23/60) = 53,9 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 300000/(200·53,9) = 27,83 m²
Risposta
A = 27,83 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer