Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Mattone, k = 0,72250 mmCartongesso, k = 0,1775 mm16 °C-5 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 250 mm di mattone e 75 mm di cartongesso, con un’area di 8 m². Le facce esterne sono a 16 °C e -5 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 16 °CT3 = -5 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Legno, k = 0,1750 mmVetro, k = 0,9650 mmstanza 20 °Cesterno -5 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 50 mm legno e 50 mm vetro separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -5 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 4 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 4 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -5 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT175 °C150 °C25 °C145 °CΔT₁ΔT₂equicorrente

Uno scambiatore di calore equicorrente trasferisce 330 kW. La sua area di scambio è 6 m². Il fluido caldo si raffredda da 175 a 150 °C e il fluido freddo si riscalda da 25 a 145 °C. Trova il coefficiente globale di scambio U.

Q̇ = 330 kWA = 6 m²Th: 175 → 150 °CTc: 25 → 145 °C
U = W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT120 °C20 °C?ΔT₁ΔT₂vapore che condensa

Il vapore condensa a 120 °C costanti all’esterno dei tubi di un condensatore con un’area di scambio di 5 m² e U = 1500 W/(m²·K). L’acqua di raffreddamento (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entra nei tubi a 20 °C. Trova la temperatura di uscita dell’acqua Tc,out.

Ts = 120 °CA = 5 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °C
Tc,out = °C

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 213,1 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·8) = 0,0434 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·8) = 0,05515 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 21/0,09855 = 213,1 W

Risposta

Q̇ = 213,1 W
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 14 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·4) = 0,03125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·4) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·4) = 0,01302 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0,0125 K/W
ΣR = 0,1303 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (20 − (-5))/0,1303 = 191,9 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 191,9·0,03125 = 14 °C

Risposta

Ts = 14 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: U = 1290 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi

In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 175 − 25 = 150 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 150 − 145 = 5 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (150 − 5)/ln(150/5) = 42,63 K

Coefficiente globale

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 330000/(6·42,63) = 1290 W/(m²·K)

Risposta

U = 1290 W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: Tc,out = 89,77 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combina il bilancio energetico e l’equazione di scambio

Con ΔT₁ = Ts − Tc,in e ΔT₂ = Ts − Tc,out, la differenza ΔT₁ − ΔT₂ è uguale all’aumento di temperatura dell’acqua, quindi l’aumento si semplifica.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·5/(1,5·4180) = 1,196

Temperatura di uscita

ΔT₂ = ΔT₁·e−1,196 = 100·0,3023 = 30,23 K
Tc,out = 120 − 30,23 = 89,77 °C

Risposta

Tc,out = 89,77 °C

Calore trasferito: Q̇ = 437,4 kW.

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