Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Legno, k = 0,17150 mmVetro, k = 0,9650 mm22 °C-6 °CTi​ = ?Q̇

Una parete è composta da 150 mm di legno e 50 mm di vetro, con un’area di 10 m². Le facce esterne sono a 22 °C e -6 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.

L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 22 °CT3 = -6 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Legno, k = 0,17100 mmCalcestruzzo, k = 1,425 mmstanza 22 °Cesterno -1 °CQ̇

Una parete di 100 mm legno e 25 mm calcestruzzo separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -1 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 12 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.

L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 12 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -1 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT140 °C30 °C50 °CΔT₁ΔT₂vapore che condensa

In un condensatore, il vapore condensa a 140 °C costanti all’esterno dei tubi. L’acqua di raffreddamento (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) scorre nei tubi e si riscalda da 30 a 50 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Ts = 140 °Cṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 30 → 50 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT115 °C80 °C26,72 °C15 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Olio caldo (1 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) si raffredda da 115 a 80 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1,5 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 15 °C. Con U = 1000 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 115 → 80 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Ti = −4,439 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·10) = 0,08824 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·10) = 0,005208 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 28/0,09344 = 299,6 W

Temperatura all’interfaccia

La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 299,6·0,08824 = −4,439 °C

Risposta

Ti = −4,439 °C
2.Conduzione del calore

Risposta: U = 1,28 W/(m²·K)

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·12) = 0,01042 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·12) = 0,04902 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·12) = 0,001488 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·12) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,06509 K/W

Coefficiente globale

U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,06509) = 1,28 W/(m²·K)

Risposta

U = 1,28 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 0,8388 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica dal lato acqua

Q̇ = 1,5·4,18·(50 − 30) = 125,4 kW

Differenze di temperatura agli estremi

ΔT₁ = 140 − 30 = 110 K
ΔT₂ = 140 − 50 = 90 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 90)/ln(110/90) = 99,67 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 125400/(1500·99,67) = 0,8388 m²

Risposta

A = 0,8388 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 0,9665 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,1·35 = 73,5 kW
Tc,out = 15 + 73,5/(1,5·4,18) = 26,72 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 26,72 = 88,28 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 15 = 65 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (88,28 − 65)/ln(88,28/65) = 76,05 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 73500/(1000·76,05) = 0,9665 m²

Risposta

A = 0,9665 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer