Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 200 mm di lana minerale e 50 mm di calcestruzzo, con un’area di 6 m². Le facce esterne sono a 20 °C e -1 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 20 °CT3 = -1 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 100 mm vetro e 75 mm legno separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -5 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 10 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -5 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore equicorrente trasferisce 370 kW. Il fluido caldo si raffredda da 175 a 100 °C e il fluido freddo si riscalda da 30 a 90 °C. Il coefficiente globale di scambio è 200 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 370 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 175 → 100 °CTc: 30 → 90 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
In uno scambiatore a doppio tubo controcorrente, olio caldo (1 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 135 a 55 °C. Acqua (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 15 °C. Il tubo interno ha un diametro di 25 mm, e U = 400 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 135 → 55 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 15 °CD = 25 mmU = 400 W/(m²·K)
L = m
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 25,02 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·6) = 0,8333 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1,4·6) = 0,005952 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 21/0,8393 = 25,02 W
Risposta
Q̇ = 25,02 W
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 328,1 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·10) = 0,01042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·10) = 0,04412 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0,005 K/W
ΣR = 0,0762 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (20 − (-5))/0,0762 = 328,1 W
Risposta
Q̇ = 328,1 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 36,65 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 175 − 30 = 145 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 100 − 90 = 10 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (145 − 10)/ln(145/10) = 50,48 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 370000/(200·50,48) = 36,65 m²
Risposta
A = 36,65 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: L = 92,79 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = 1·2,1·(135 − 55) = 168 kW
Tc,out = 15 + 168/(1·4,18) = 55,19 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 55,19 = 79,81 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 15 = 40 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (79,81 − 40)/ln(79,81/40) = 57,63 K
Area e lunghezza
A = 168000/(400·57,63) = 7,288 m²
L = A/(πD) = 7,288/(π·0,025) = 92,79 m
Risposta
L = 92,79 m
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