Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 100 mm di legno e 100 mm di mattone, con un’area di 8 m². Le facce esterne sono a 23 °C e -15 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 23 °CT3 = -15 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 50 mm legno e 150 mm mattone separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -11 °C. I coefficienti di convezione sono 10 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 20 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 20 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -11 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
In un condensatore, il vapore condensa a 105 °C costanti all’esterno dei tubi. L’acqua di raffreddamento (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) scorre nei tubi e si riscalda da 20 a 65 °C. Il coefficiente globale di scambio è 3000 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Ts = 105 °Cṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 65 °CU = 3000 W/(m²·K)
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (2 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) si raffredda da 110 a 75 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 0,5 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 25 °C. Con U = 300 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 110 → 75 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = −7,742 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·8) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·8) = 0,01736 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 38/0,09089 = 418,1 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 23 − 418,1·0,07353 = −7,742 °C
Risposta
Ti = −7,742 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 1027 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·20) = 0,005 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·20) = 0,01471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·20) = 0,01042 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·20) = 0,002 K/W
ΣR = 0,03212 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (22 − (-11))/0,03212 = 1027 W
Risposta
Q̇ = 1027 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 0,5251 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Potenza termica dal lato acqua
Q̇ = 0,5·4,18·(65 − 20) = 94,05 kW
Differenze di temperatura agli estremi
ΔT₁ = 105 − 20 = 85 K
ΔT₂ = 105 − 65 = 40 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 40)/ln(85/40) = 59,7 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 94050/(3000·59,7) = 0,5251 m²
Risposta
A = 0,5251 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 17,01 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,1·35 = 147 kW
Tc,out = 25 + 147/(0,5·4,18) = 95,33 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 95,33 = 14,67 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 25 = 50 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (14,67 − 50)/ln(14,67/50) = 28,81 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 147000/(300·28,81) = 17,01 m²
Risposta
A = 17,01 m²
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