Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Calcestruzzo, k = 1,4200 mmLana minerale, k = 0,0475 mm16 °C4 °CTi​ = ?Q̇

Una parete è composta da 200 mm di calcestruzzo e 75 mm di lana minerale, con un’area di 10 m². Le facce esterne sono a 16 °C e 4 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.

L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 16 °CT3 = 4 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Polistirene espanso, k = 0,03550 mmVetro, k = 0,96150 mmstanza 22 °Cesterno -15 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 50 mm polistirene espanso e 150 mm vetro separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -15 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 12 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -15 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT160 °C75 °C100 °C30 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore di calore controcorrente trasferisce 270 kW. La sua area di scambio è 3 m². Il fluido caldo si raffredda da 160 a 75 °C e il fluido freddo si riscalda da 30 a 100 °C. Trova il coefficiente globale di scambio U.

Q̇ = 270 kWA = 3 m²Th: 160 → 75 °CTc: 30 → 100 °C
U = W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT135 °C105 °C?10 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

In uno scambiatore a doppio tubo controcorrente, olio caldo (0,8 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 135 a 105 °C. Acqua (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 10 °C. Il tubo interno ha un diametro di 40 mm, e U = 250 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.

ṁh = 0,8 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 135 → 105 °Cṁc = 0,5 kg/sTc,in = 10 °CD = 40 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Ti = 15,15 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·10) = 0,01429 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·10) = 0,1875 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 12/0,2018 = 59,47 W

Temperatura all’interfaccia

La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 59,47·0,01429 = 15,15 °C

Risposta

Ti = 15,15 °C
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 18,56 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·12) = 0,01389 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·12) = 0,119 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·12) = 0,01302 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,1493 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (22 − (-15))/0,1493 = 247,8 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 247,8·0,01389 = 18,56 °C

Risposta

Ts = 18,56 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: U = 1726 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 100 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 30 = 45 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 45)/ln(60/45) = 52,14 K

Coefficiente globale

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 270000/(3·52,14) = 1726 W/(m²·K)

Risposta

U = 1726 W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: L = 16,38 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = 0,8·2,1·(135 − 105) = 50,4 kW
Tc,out = 10 + 50,4/(0,5·4,18) = 34,11 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 34,11 = 100,9 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 105 − 10 = 95 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100,9 − 95)/ln(100,9/95) = 97,91 K

Area e lunghezza

A = 50400/(250·97,91) = 2,059 m²
L = A/(πD) = 2,059/(π·0,04) = 16,38 m

Risposta

L = 16,38 m

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