Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 50 mm di cartongesso e 150 mm di calcestruzzo, con un’area di 12 m². Le facce esterne sono a 19 °C e -3 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 19 °CT3 = -3 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 50 mm legno e 100 mm calcestruzzo separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -8 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 20 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 20 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -8 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 250 kW. Il fluido caldo si raffredda da 165 a 100 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 80 °C. Il coefficiente globale di scambio è 500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 250 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 165 → 100 °CTc: 10 → 80 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (1,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) si raffredda da 155 a 125 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 3 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 15 °C. Con U = 1000 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 155 → 125 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = 2,874 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1,4·12) = 0,008929 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 22/0,03344 = 657,9 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 657,9·0,02451 = 2,874 °C
Risposta
Ti = 2,874 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: Ts = 11,98 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·20) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·20) = 0,01471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·20) = 0,003571 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0,0025 K/W
ΣR = 0,02911 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (20 − (-8))/0,02911 = 961,8 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 961,8·0,008333 = 11,98 °C
Risposta
Ts = 11,98 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 5,716 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 165 − 80 = 85 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 100 − 10 = 90 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 90)/ln(85/90) = 87,48 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 250000/(500·87,48) = 5,716 m²
Risposta
A = 5,716 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 0,9359 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,5·30 = 112,5 kW
Tc,out = 15 + 112,5/(3·4,18) = 23,97 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 23,97 = 131 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 125 − 15 = 110 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (131 − 110)/ln(131/110) = 120,2 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 112500/(1000·120,2) = 0,9359 m²
Risposta
A = 0,9359 m²
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