Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 250 mm di legno e 150 mm di lana minerale, con un’area di 12 m². Le facce esterne sono a 21 °C e -11 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 21 °CT3 = -11 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 150 mm legno e 100 mm mattone separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -6 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 12 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 12 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -6 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 170 kW. Il fluido caldo si raffredda da 175 a 25 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 55 °C. Il coefficiente globale di scambio è 500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 170 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 175 → 25 °CTc: 10 → 55 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (1,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) si raffredda da 155 a 40 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1,5 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 10 °C. Con U = 800 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 155 → 40 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 73,55 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·12) = 0,1225 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·12) = 0,3125 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0,435 = 73,55 W
Risposta
Q̇ = 73,55 W
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 263,4 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·12) = 0,01082 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·12) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·12) = 0,01157 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0,002778 K/W
ΣR = 0,0987 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (20 − (-6))/0,0987 = 263,4 W
Risposta
Q̇ = 263,4 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 6,733 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 175 − 55 = 120 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 25 − 10 = 15 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120 − 15)/ln(120/15) = 50,49 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 170000/(500·50,49) = 6,733 m²
Risposta
A = 6,733 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 10,87 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,5·115 = 431,3 kW
Tc,out = 10 + 431,3/(1,5·4,18) = 78,78 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 78,78 = 76,22 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 10 = 30 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (76,22 − 30)/ln(76,22/30) = 49,57 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 431250/(800·49,57) = 10,87 m²
Risposta
A = 10,87 m²
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