Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Calcestruzzo, k = 1,4150 mmLegno, k = 0,1775 mm17 °C-3 °CTi​ = ?Q̇

Una parete è composta da 150 mm di calcestruzzo e 75 mm di legno, con un’area di 8 m². Le facce esterne sono a 17 °C e -3 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.

L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 17 °CT3 = -3 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Legno, k = 0,17150 mmLana minerale, k = 0,04100 mmstanza 21 °Cesterno -8 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 150 mm legno e 100 mm lana minerale separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a -8 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 8 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -8 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT100 °C10 °C80 °CΔT₁ΔT₂vapore che condensa

In un condensatore, il vapore condensa a 100 °C costanti all’esterno dei tubi. L’acqua di raffreddamento (4 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) scorre nei tubi e si riscalda da 10 a 80 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1000 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Ts = 100 °Cṁ = 4 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 80 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT130 °C20 °C?ΔT₁ΔT₂vapore che condensa

Il vapore condensa a 130 °C costanti all’esterno dei tubi di un condensatore con un’area di scambio di 8 m² e U = 1500 W/(m²·K). L’acqua di raffreddamento (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entra nei tubi a 20 °C. Trova la temperatura di uscita dell’acqua Tc,out.

Ts = 130 °CA = 8 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °C
Tc,out = °C

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Ti = 13,09 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·8) = 0,01339 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·8) = 0,05515 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0,06854 = 291,8 W

Temperatura all’interfaccia

La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 291,8·0,01339 = 13,09 °C

Risposta

Ti = 13,09 °C
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 19,65 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·8) = 0,1103 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·8) = 0,3125 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,4478 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (21 − (-8))/0,4478 = 64,76 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 64,76·0,02083 = 19,65 °C

Risposta

Ts = 19,65 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 25,15 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica dal lato acqua

Q̇ = 4·4,18·(80 − 10) = 1170 kW

Differenze di temperatura agli estremi

ΔT₁ = 100 − 10 = 90 K
ΔT₂ = 100 − 80 = 20 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 20)/ln(90/20) = 46,54 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 1,17 × 10⁶/(1000·46,54) = 25,15 m²

Risposta

A = 25,15 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: Tc,out = 103,8 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combina il bilancio energetico e l’equazione di scambio

Con ΔT₁ = Ts − Tc,in e ΔT₂ = Ts − Tc,out, la differenza ΔT₁ − ΔT₂ è uguale all’aumento di temperatura dell’acqua, quindi l’aumento si semplifica.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·8/(2·4180) = 1,435

Temperatura di uscita

ΔT₂ = ΔT₁·e−1,435 = 110·0,238 = 26,18 K
Tc,out = 130 − 26,18 = 103,8 °C

Risposta

Tc,out = 103,8 °C

Calore trasferito: Q̇ = 700,7 kW.

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