Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 250 mm di cartongesso e 25 mm di polistirene espanso, con un’area di 10 m². Le facce esterne sono a 18 °C e -6 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 18 °CT3 = -6 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 250 mm mattone e 150 mm cartongesso separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -14 °C. I coefficienti di convezione sono 10 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 12 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.
L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -14 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 400 kW. Il fluido caldo si raffredda da 140 a 120 °C e il fluido freddo si riscalda da 15 a 40 °C. Il coefficiente globale di scambio è 500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 400 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 140 → 120 °CTc: 15 → 40 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) si raffredda da 115 a 75 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 30 °C. Con U = 800 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 115 → 75 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 109,8 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·10) = 0,1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,035·10) = 0,07143 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 24/0,2185 = 109,8 W
Risposta
Q̇ = 109,8 W
2.Conduzione del calore
Risposta: U = 0,7337 W/(m²·K)
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·12) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·12) = 0,02894 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·12) = 0,07353 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0,002778 K/W
ΣR = 0,1136 K/W
Coefficiente globale
U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,1136) = 0,7337 W/(m²·K)
Risposta
U = 0,7337 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 7,806 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 40 = 100 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 120 − 15 = 105 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 105)/ln(100/105) = 102,5 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 400000/(500·102,5) = 7,806 m²
Risposta
A = 7,806 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 0,9863 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,3·40 = 46 kW
Tc,out = 30 + 46/(1·4,18) = 41 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 41 = 74 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 30 = 45 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (74 − 45)/ln(74/45) = 58,3 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 46000/(800·58,3) = 0,9863 m²
Risposta
A = 0,9863 m²
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