Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Mattone, k = 0,72100 mmCalcestruzzo, k = 1,4100 mm24 °C10 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 100 mm di mattone e 100 mm di calcestruzzo, con un’area di 4 m². Le facce esterne sono a 24 °C e 10 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 24 °CT3 = 10 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Mattone, k = 0,72200 mmCartongesso, k = 0,1775 mmstanza 20 °Cesterno 4 °CQ̇ = ?

Una parete di 200 mm mattone e 75 mm cartongesso separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a 4 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 8 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.

L1 = 200 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 4 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT85 °C55 °C55 °C20 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 370 kW. Il fluido caldo si raffredda da 85 a 55 °C e il fluido freddo si riscalda da 20 a 55 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,95, e U = 200 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 370 kWF = 0,95U = 200 W/(m²·K)Th: 85 → 55 °CTc: 20 → 55 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT180 °C??20 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

In uno scambiatore controcorrente entrambe le correnti hanno la stessa capacità termica oraria, ṁ·cp = 4 kW/K. La corrente calda entra a 180 °C e quella fredda a 20 °C. Lo scambiatore ha A = 4 m² e U = 800 W/(m²·K). Trova la temperatura di uscita della corrente calda Th,out.

Ch = Cc = 4 kW/KTh,in = 180 °CTc,in = 20 °CA = 4 m²U = 800 W/(m²·K)
Th,out = °C

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 266,3 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·4) = 0,03472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·4) = 0,01786 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/0,05258 = 266,3 W

Risposta

Q̇ = 266,3 W
2.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 144 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·8) = 0,01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,72·8) = 0,03472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·8) = 0,05515 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 0,1111 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (20 − (4))/0,1111 = 144 W

Risposta

Q̇ = 144 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 60,04 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 55 = 30 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 20 = 35 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (30 − 35)/ln(30/35) = 32,44 K

Area

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 370000/(200·0,95·32,44) = 60,04 m²

Risposta

A = 60,04 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: Th,out = 108,9 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenza di temperatura costante

L’uscita fredda si trova di fronte all’ingresso caldo: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), quindi ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.

ΔTlm = Th,out − Tc,in

Bilancio energetico uguale all’equazione di scambio

4·(180 − Th,out) = 3,2·(Th,out − 20)
Th,out = (4·180 + 3,2·20)/(4 + 3,2) = 108,9 °C

Risposta

Th,out = 108,9 °C

Calore trasferito: Q̇ = 284,4 kW; la corrente fredda esce a 91,11 °C.

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