Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Lana minerale, k = 0,04200 mmLegno, k = 0,1750 mm24 °C-15 °CTi​ = ?Q̇

Una parete è composta da 200 mm di lana minerale e 50 mm di legno, con un’area di 10 m². Le facce esterne sono a 24 °C e -15 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.

L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 24 °CT3 = -15 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Polistirene espanso, k = 0,035150 mmLegno, k = 0,17100 mmstanza 20 °Cesterno 2 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 150 mm polistirene espanso e 100 mm legno separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a 2 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 12 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 2 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT180 °C140 °C20 °C85 °CΔT₁ΔT₂equicorrente

Uno scambiatore di calore equicorrente trasferisce 390 kW. La sua area di scambio è 12 m². Il fluido caldo si raffredda da 180 a 140 °C e il fluido freddo si riscalda da 20 a 85 °C. Trova il coefficiente globale di scambio U.

Q̇ = 390 kWA = 12 m²Th: 180 → 140 °CTc: 20 → 85 °C
U = W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT140 °C55 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂equicorrente

In uno scambiatore a doppio tubo equicorrente, olio caldo (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 140 a 55 °C. Acqua (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 10 °C. Il tubo interno ha un diametro di 20 mm, e U = 300 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 140 → 55 °Cṁc = 1,5 kg/sTc,in = 10 °CD = 20 mmU = 300 W/(m²·K)
L = m

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Ti = −12,83 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·10) = 0,5 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·10) = 0,02941 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 39/0,5294 = 73,67 W

Temperatura all’interfaccia

La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 73,67·0,5 = −12,83 °C

Risposta

Ti = −12,83 °C
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 19,41 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·12) = 0,01389 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·12) = 0,3571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·12) = 0,04902 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·12) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,4242 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (20 − (2))/0,4242 = 42,43 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 42,43·0,01389 = 19,41 °C

Risposta

Ts = 19,41 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: U = 330,5 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi

In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 180 − 20 = 160 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 140 − 85 = 55 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (160 − 55)/ln(160/55) = 98,33 K

Coefficiente globale

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 390000/(12·98,33) = 330,5 W/(m²·K)

Risposta

U = 330,5 W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: L = 84,78 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = 0,5·2,5·(140 − 55) = 106,3 kW
Tc,out = 10 + 106,3/(1,5·4,18) = 26,95 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 140 − 10 = 130 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 55 − 26,95 = 28,05 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (130 − 28,05)/ln(130/28,05) = 66,48 K

Area e lunghezza

A = 106250/(300·66,48) = 5,327 m²
L = A/(πD) = 5,327/(π·0,02) = 84,78 m

Risposta

L = 84,78 m

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