Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 200 mm di legno e 25 mm di vetro, con un’area di 15 m². Le facce esterne sono a 17 °C e -13 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 17 °CT3 = -13 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 200 mm vetro e 100 mm lana minerale separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -10 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 4 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.
L1 = 200 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 4 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -10 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore equicorrente trasferisce 380 kW. Il fluido caldo si raffredda da 130 a 115 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 45 °C. Il coefficiente globale di scambio è 800 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 380 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 130 → 115 °CTc: 10 → 45 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (1,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) si raffredda da 140 a 100 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 30 °C. Con U = 300 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 140 → 100 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 374,2 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·15) = 0,07843 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·15) = 0,001736 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 30/0,08017 = 374,2 W
Risposta
Q̇ = 374,2 W
2.Conduzione del calore
Risposta: Ts = 20,17 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·4) = 0,04167 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,96·4) = 0,05208 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·4) = 0,625 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W
ΣR = 0,7288 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (22 − (-10))/0,7288 = 43,91 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 43,91·0,04167 = 20,17 °C
Risposta
Ts = 20,17 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 5,12 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 130 − 10 = 120 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 115 − 45 = 70 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120 − 70)/ln(120/70) = 92,76 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 380000/(800·92,76) = 5,12 m²
Risposta
A = 5,12 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 6,941 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,5·40 = 150 kW
Tc,out = 30 + 150/(1·4,18) = 65,89 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 65,89 = 74,11 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 100 − 30 = 70 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (74,11 − 70)/ln(74,11/70) = 72,04 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 150000/(300·72,04) = 6,941 m²
Risposta
A = 6,941 m²
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