Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Lana minerale, k = 0,04200 mmMattone, k = 0,7225 mm21 °C5 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 200 mm di lana minerale e 25 mm di mattone, con un’area di 12 m². Le facce esterne sono a 21 °C e 5 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 21 °CT3 = 5 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Lana minerale, k = 0,04250 mmMattone, k = 0,72150 mmstanza 22 °Cesterno 2 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 250 mm lana minerale e 150 mm mattone separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a 2 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 20 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 250 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 20 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 2 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT130 °C20 °C65 °CΔT₁ΔT₂vapore che condensa

In un condensatore, il vapore condensa a 130 °C costanti all’esterno dei tubi. L’acqua di raffreddamento (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) scorre nei tubi e si riscalda da 20 a 65 °C. Il coefficiente globale di scambio è 3000 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Ts = 130 °Cṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 65 °CU = 3000 W/(m²·K)
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT170 °C150 °C47,94 °C30 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Olio caldo (1,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) si raffredda da 170 a 150 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 30 °C. Con U = 300 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 170 → 150 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 38,14 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·12) = 0,4167 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·12) = 0,002894 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 16/0,4196 = 38,14 W

Risposta

Q̇ = 38,14 W
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 21,5 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·20) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,04·20) = 0,3125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·20) = 0,01042 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·20) = 0,002 K/W
ΣR = 0,3333 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (22 − (2))/0,3333 = 60,02 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 60,02·0,008333 = 21,5 °C

Risposta

Ts = 21,5 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 1,466 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica dal lato acqua

Q̇ = 2·4,18·(65 − 20) = 376,2 kW

Differenze di temperatura agli estremi

ΔT₁ = 130 − 20 = 110 K
ΔT₂ = 130 − 65 = 65 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 65)/ln(110/65) = 85,54 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 376200/(3000·85,54) = 1,466 m²

Risposta

A = 1,466 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 2,066 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,5·20 = 75 kW
Tc,out = 30 + 75/(1·4,18) = 47,94 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 170 − 47,94 = 122,1 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 150 − 30 = 120 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (122,1 − 120)/ln(122,1/120) = 121 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 75000/(300·121) = 2,066 m²

Risposta

A = 2,066 m²

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