Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Legno, k = 0,17250 mmVetro, k = 0,9625 mm15 °C0 °CTi​ = ?Q̇

Una parete è composta da 250 mm di legno e 25 mm di vetro, con un’area di 20 m². Le facce esterne sono a 15 °C e 0 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.

L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 15 °CT3 = 0 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Legno, k = 0,17100 mmLana minerale, k = 0,0425 mmstanza 22 °Cesterno -7 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 100 mm legno e 25 mm lana minerale separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -7 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 12 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -7 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT100 °C10 °C35 °CΔT₁ΔT₂vapore che condensa

In un condensatore, il vapore condensa a 100 °C costanti all’esterno dei tubi. L’acqua di raffreddamento (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) scorre nei tubi e si riscalda da 10 a 35 °C. Il coefficiente globale di scambio è 3500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Ts = 100 °Cṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 35 °CU = 3500 W/(m²·K)
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT140 °C105 °C?25 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

In uno scambiatore a doppio tubo controcorrente, olio caldo (1 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 140 a 105 °C. Acqua (0,2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 25 °C. Il tubo interno ha un diametro di 32 mm, e U = 400 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 140 → 105 °Cṁc = 0,2 kg/sTc,in = 25 °CD = 32 mmU = 400 W/(m²·K)
L = m

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Ti = 0,261 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·20) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·20) = 0,001302 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 15/0,07483 = 200,5 W

Temperatura all’interfaccia

La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 200,5·0,07353 = 0,261 °C

Risposta

Ti = 0,261 °C
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 19,26 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·12) = 0,01082 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·12) = 0,04902 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,04·12) = 0,05208 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0,002778 K/W
ΣR = 0,1147 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (22 − (-7))/0,1147 = 252,8 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 252,8·0,01082 = 19,26 °C

Risposta

Ts = 19,26 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 0,1943 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica dal lato acqua

Q̇ = 0,5·4,18·(35 − 10) = 52,25 kW

Differenze di temperatura agli estremi

ΔT₁ = 100 − 10 = 90 K
ΔT₂ = 100 − 35 = 65 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 65)/ln(90/65) = 76,82 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 52250/(3500·76,82) = 0,1943 m²

Risposta

A = 0,1943 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: L = 37,41 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = 1·2,1·(140 − 105) = 73,5 kW
Tc,out = 25 + 73,5/(0,2·4,18) = 112,9 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 112,9 = 27,08 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 105 − 25 = 80 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (27,08 − 80)/ln(27,08/80) = 48,85 K

Area e lunghezza

A = 73500/(400·48,85) = 3,761 m²
L = A/(πD) = 3,761/(π·0,032) = 37,41 m

Risposta

L = 37,41 m

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