Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 200 mm di calcestruzzo e 150 mm di vetro, con un’area di 20 m². Le facce esterne sono a 16 °C e -9 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 16 °CT3 = -9 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 200 mm polistirene espanso e 50 mm vetro separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -10 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 4 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.
L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 4 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -10 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 340 kW. Il fluido caldo si raffredda da 140 a 85 °C e il fluido freddo si riscalda da 30 a 70 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,88, e U = 500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 340 kWF = 0,88U = 500 W/(m²·K)Th: 140 → 85 °CTc: 30 → 70 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (1,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) si raffredda da 105 a 75 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 2 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 20 °C. Con U = 1500 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 105 → 75 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = 4,06 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·20) = 0,007143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·20) = 0,007813 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 25/0,01496 = 1672 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 1672·0,007143 = 4,06 °C
Risposta
Ti = 4,06 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: Ts = 19,37 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·4) = 0,03125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·4) = 1,429 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·4) = 0,01302 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0,0125 K/W
ΣR = 1,485 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (20 − (-10))/1,485 = 20,2 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 20,2·0,03125 = 19,37 °C
Risposta
Ts = 19,37 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 12,42 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 70 = 70 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 30 = 55 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70 − 55)/ln(70/55) = 62,2 K
Area
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 340000/(500·0,88·62,2) = 12,42 m²
Risposta
A = 12,42 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 0,986 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,1·30 = 94,5 kW
Tc,out = 20 + 94,5/(2·4,18) = 31,3 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 31,3 = 73,7 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 20 = 55 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (73,7 − 55)/ln(73,7/55) = 63,89 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 94500/(1500·63,89) = 0,986 m²
Risposta
A = 0,986 m²
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