Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Legno, k = 0,17250 mmMattone, k = 0,72150 mm20 °C8 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 250 mm di legno e 150 mm di mattone, con un’area di 4 m². Le facce esterne sono a 20 °C e 8 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 20 °CT3 = 8 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Lana minerale, k = 0,04250 mmCalcestruzzo, k = 1,425 mmstanza 20 °Cesterno -10 °CQ̇

Una parete di 250 mm lana minerale e 25 mm calcestruzzo separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -10 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 15 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.

L1 = 250 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 15 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -10 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT80 °C45 °C60 °C15 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 200 kW. Il fluido caldo si raffredda da 80 a 45 °C e il fluido freddo si riscalda da 15 a 60 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,88, e U = 1000 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 200 kWF = 0,88U = 1000 W/(m²·K)Th: 80 → 45 °CTc: 15 → 60 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT180 °C80 °C66,68 °C30 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Olio caldo (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) si raffredda da 180 a 80 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1,5 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 30 °C. Con U = 200 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 180 → 80 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 28,59 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·4) = 0,3676 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·4) = 0,05208 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 12/0,4197 = 28,59 W

Risposta

Q̇ = 28,59 W
2.Conduzione del calore

Risposta: U = 0,1555 W/(m²·K)

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·15) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,04·15) = 0,4167 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·15) = 0,00119 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,4289 K/W

Coefficiente globale

U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,4289) = 0,1555 W/(m²·K)

Risposta

U = 0,1555 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 9,215 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 60 = 20 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 15 = 30 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (20 − 30)/ln(20/30) = 24,66 K

Area

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 200000/(1000·0,88·24,66) = 9,215 m²

Risposta

A = 9,215 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 14,86 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·100 = 230 kW
Tc,out = 30 + 230/(1,5·4,18) = 66,68 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 180 − 66,68 = 113,3 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 30 = 50 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (113,3 − 50)/ln(113,3/50) = 77,39 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 230000/(200·77,39) = 14,86 m²

Risposta

A = 14,86 m²

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