Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 150 mm di calcestruzzo e 50 mm di polistirene espanso, con un’area di 12 m². Le facce esterne sono a 20 °C e -12 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 20 °CT3 = -12 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 200 mm polistirene espanso e 100 mm cartongesso separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a -7 °C. I coefficienti di convezione sono 10 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 10 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -7 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 130 kW. Il fluido caldo si raffredda da 95 a 55 °C e il fluido freddo si riscalda da 20 a 80 °C. Il coefficiente globale di scambio è 500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 130 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 95 → 55 °CTc: 20 → 80 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) si raffredda da 170 a 60 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1,5 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 30 °C. Con U = 200 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 170 → 60 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 250 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·12) = 0,008929 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,035·12) = 0,119 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0,128 = 250 W
Risposta
Q̇ = 250 W
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 43,46 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·10) = 0,01 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·10) = 0,5714 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·10) = 0,05882 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0,004 K/W
ΣR = 0,6443 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (21 − (-7))/0,6443 = 43,46 W
Risposta
Q̇ = 43,46 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 11,01 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 80 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 20 = 35 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 35)/ln(15/35) = 23,6 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 130000/(500·23,6) = 11,01 m²
Risposta
A = 11,01 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 10,7 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,5·110 = 137,5 kW
Tc,out = 30 + 137,5/(1,5·4,18) = 51,93 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 170 − 51,93 = 118,1 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 30 = 30 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (118,1 − 30)/ln(118,1/30) = 64,28 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 137500/(200·64,28) = 10,7 m²
Risposta
A = 10,7 m²
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