Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Polistirene espanso, k = 0,03550 mmLana minerale, k = 0,0450 mm17 °C7 °CTi​ = ?Q̇

Una parete è composta da 50 mm di polistirene espanso e 50 mm di lana minerale, con un’area di 4 m². Le facce esterne sono a 17 °C e 7 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.

L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 17 °CT3 = 7 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Calcestruzzo, k = 1,450 mmPolistirene espanso, k = 0,03525 mmstanza 22 °Cesterno -6 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 50 mm calcestruzzo e 25 mm polistirene espanso separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -6 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 20 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 50 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -6 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT150 °C55 °C25 °C45 °CΔT₁ΔT₂equicorrente

Uno scambiatore equicorrente trasferisce 390 kW. Il fluido caldo si raffredda da 150 a 55 °C e il fluido freddo si riscalda da 25 a 45 °C. Il coefficiente globale di scambio è 300 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 390 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 150 → 55 °CTc: 25 → 45 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT140 °C85 °C?10 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

In uno scambiatore a doppio tubo controcorrente, olio caldo (0,2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 140 a 85 °C. Acqua (0,8 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 10 °C. Il tubo interno ha un diametro di 25 mm, e U = 250 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.

ṁh = 0,2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 140 → 85 °Cṁc = 0,8 kg/sTc,in = 10 °CD = 25 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Ti = 11,67 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·4) = 0,3571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,04·4) = 0,3125 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 10/0,6696 = 14,93 W

Temperatura all’interfaccia

La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 14,93·0,3571 = 11,67 °C

Risposta

Ti = 11,67 °C
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 17,09 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·20) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(1,4·20) = 0,001786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,035·20) = 0,03571 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0,001667 K/W
ΣR = 0,0475 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (22 − (-6))/0,0475 = 589,5 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 589,5·0,008333 = 17,09 °C

Risposta

Ts = 17,09 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 28,55 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Differenze di temperatura agli estremi

In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 150 − 25 = 125 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 55 − 45 = 10 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (125 − 10)/ln(125/10) = 45,53 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 390000/(300·45,53) = 28,55 m²

Risposta

A = 28,55 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: L = 14,51 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = 0,2·2,5·(140 − 85) = 27,5 kW
Tc,out = 10 + 27,5/(0,8·4,18) = 18,22 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 18,22 = 121,8 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 10 = 75 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (121,8 − 75)/ln(121,8/75) = 96,51 K

Area e lunghezza

A = 27500/(250·96,51) = 1,14 m²
L = A/(πD) = 1,14/(π·0,025) = 14,51 m

Risposta

L = 14,51 m

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