Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 50 mm di mattone e 75 mm di vetro, con un’area di 20 m². Le facce esterne sono a 19 °C e 0 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 19 °CT3 = 0 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 250 mm lana minerale e 150 mm cartongesso separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a 2 °C. I coefficienti di convezione sono 10 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 8 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.
L1 = 250 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 2 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 450 kW. Il fluido caldo si raffredda da 110 a 50 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 90 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1000 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 450 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 110 → 50 °CTc: 10 → 90 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (2 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) si raffredda da 80 a 60 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 0,5 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 15 °C. Con U = 1500 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 80 → 60 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 2575 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·20) = 0,003472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·20) = 0,003906 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 19/0,007378 = 2575 W
Risposta
Q̇ = 2575 W
2.Conduzione del calore
Risposta: U = 0,1373 W/(m²·K)
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·8) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,04·8) = 0,7813 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·8) = 0,1103 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,9103 K/W
Coefficiente globale
U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,9103) = 0,1373 W/(m²·K)
Risposta
U = 0,1373 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 15,6 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 90 = 20 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 10 = 40 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (20 − 40)/ln(20/40) = 28,85 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 450000/(1000·28,85) = 15,6 m²
Risposta
A = 15,6 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 1,652 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,1·20 = 84 kW
Tc,out = 15 + 84/(0,5·4,18) = 55,19 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 55,19 = 24,81 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 15 = 45 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (24,81 − 45)/ln(24,81/45) = 33,91 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 84000/(1500·33,91) = 1,652 m²
Risposta
A = 1,652 m²
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