Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 100 mm di lana minerale e 100 mm di calcestruzzo, con un’area di 6 m². Le facce esterne sono a 15 °C e 2 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 15 °CT3 = 2 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 200 mm legno e 25 mm calcestruzzo separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -9 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 20 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 20 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -9 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 190 kW. Il fluido caldo si raffredda da 110 a 55 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 95 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 190 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 110 → 55 °CTc: 10 → 95 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (1 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) si raffredda da 120 a 90 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 15 °C. Con U = 1500 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 120 → 90 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = 2,361 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·6) = 0,4167 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·6) = 0,0119 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 13/0,4286 = 30,33 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 30,33·0,4167 = 2,361 °C
Risposta
Ti = 2,361 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 451,2 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·20) = 0,006494 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·20) = 0,05882 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·20) = 0,0008929 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0,0025 K/W
ΣR = 0,06871 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (22 − (-9))/0,06871 = 451,2 W
Risposta
Q̇ = 451,2 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 4,639 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 95 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 10 = 45 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 45)/ln(15/45) = 27,31 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 190000/(1500·27,31) = 4,639 m²
Risposta
A = 4,639 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 0,6182 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,5·30 = 75 kW
Tc,out = 15 + 75/(1·4,18) = 32,94 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 120 − 32,94 = 87,06 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 15 = 75 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (87,06 − 75)/ln(87,06/75) = 80,88 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 75000/(1500·80,88) = 0,6182 m²
Risposta
A = 0,6182 m²
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