Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 150 mm di cartongesso e 25 mm di mattone, con un’area di 8 m². Le facce esterne sono a 17 °C e -1 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 17 °CT3 = -1 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 150 mm lana minerale e 150 mm polistirene espanso separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -1 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 10 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 150 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -1 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
In un condensatore, il vapore condensa a 120 °C costanti all’esterno dei tubi. L’acqua di raffreddamento (5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) scorre nei tubi e si riscalda da 10 a 85 °C. Il coefficiente globale di scambio è 3000 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Ts = 120 °Cṁ = 5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 85 °CU = 3000 W/(m²·K)
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
In uno scambiatore a doppio tubo equicorrente, olio caldo (0,3 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 90 a 55 °C. Acqua (0,8 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 20 °C. Il tubo interno ha un diametro di 32 mm, e U = 150 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.
ṁh = 0,3 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 90 → 55 °Cṁc = 0,8 kg/sTc,in = 20 °CD = 32 mmU = 150 W/(m²·K)
L = m
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 157 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·8) = 0,1103 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·8) = 0,00434 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/0,1146 = 157 W
Risposta
Q̇ = 157 W
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 27,87 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,04·10) = 0,375 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,035·10) = 0,4286 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0,005 K/W
ΣR = 0,8252 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (22 − (-1))/0,8252 = 27,87 W
Risposta
Q̇ = 27,87 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 7,978 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Potenza termica dal lato acqua
Q̇ = 5·4,18·(85 − 10) = 1568 kW
Differenze di temperatura agli estremi
ΔT₁ = 120 − 10 = 110 K
ΔT₂ = 120 − 85 = 35 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 35)/ln(110/35) = 65,49 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 1,567 × 10⁶/(3000·65,49) = 7,978 m²
Risposta
A = 7,978 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: L = 38,48 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = 0,3·2,5·(90 − 55) = 26,25 kW
Tc,out = 20 + 26,25/(0,8·4,18) = 27,85 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 90 − 20 = 70 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 55 − 27,85 = 27,15 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70 − 27,15)/ln(70/27,15) = 45,24 K
Area e lunghezza
A = 26250/(150·45,24) = 3,868 m²
L = A/(πD) = 3,868/(π·0,032) = 38,48 m
Risposta
L = 38,48 m
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