Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 150 mm di polistirene espanso e 75 mm di calcestruzzo, con un’area di 12 m². Le facce esterne sono a 25 °C e -10 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 25 °CT3 = -10 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 150 mm polistirene espanso e 50 mm calcestruzzo separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a 3 °C. I coefficienti di convezione sono 10 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 15 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.
L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 15 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 3 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 400 kW. Il fluido caldo si raffredda da 165 a 55 °C e il fluido freddo si riscalda da 30 a 95 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1000 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 400 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 165 → 55 °CTc: 30 → 95 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (2 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) si raffredda da 90 a 50 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 3 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 25 °C. Con U = 1500 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 90 → 50 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = −9,568 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·12) = 0,3571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1,4·12) = 0,004464 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 35/0,3616 = 96,79 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 96,79·0,3571 = −9,568 °C
Risposta
Ti = −9,568 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: Ts = 21,58 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·15) = 0,006667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·15) = 0,2857 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1,4·15) = 0,002381 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,2981 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (22 − (3))/0,2981 = 63,74 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 63,74·0,006667 = 21,58 °C
Risposta
Ts = 21,58 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 9,152 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 165 − 95 = 70 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 30 = 25 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70 − 25)/ln(70/25) = 43,71 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 400000/(1000·43,71) = 9,152 m²
Risposta
A = 9,152 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 3,051 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,1·40 = 168 kW
Tc,out = 25 + 168/(3·4,18) = 38,4 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 38,4 = 51,6 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 25 = 25 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (51,6 − 25)/ln(51,6/25) = 36,71 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 168000/(1500·36,71) = 3,051 m²
Risposta
A = 3,051 m²
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