Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 200 mm di mattone e 100 mm di polistirene espanso, con un’area di 20 m². Le facce esterne sono a 21 °C e 3 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 200 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 21 °CT3 = 3 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 150 mm legno e 150 mm mattone separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -3 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 4 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 4 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -3 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 100 kW. Il fluido caldo si raffredda da 115 a 95 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 60 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1000 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 100 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 115 → 95 °CTc: 10 → 60 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (2 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) si raffredda da 100 a 80 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 25 °C. Con U = 1000 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 100 → 80 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 114,8 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,72·20) = 0,01389 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·20) = 0,1429 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/0,1567 = 114,8 W
Risposta
Q̇ = 114,8 W
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 79,64 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·4) = 0,03125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·4) = 0,2206 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·4) = 0,05208 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W
ΣR = 0,3139 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (22 − (-3))/0,3139 = 79,64 W
Risposta
Q̇ = 79,64 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 1,451 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 60 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 95 − 10 = 85 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 85)/ln(55/85) = 68,92 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 100000/(1000·68,92) = 1,451 m²
Risposta
A = 1,451 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 1,704 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,3·20 = 92 kW
Tc,out = 25 + 92/(1·4,18) = 47,01 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 47,01 = 52,99 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 25 = 55 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (52,99 − 55)/ln(52,99/55) = 53,99 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 92000/(1000·53,99) = 1,704 m²
Risposta
A = 1,704 m²
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